《武汉工程大学学报》  2021年03期 313-317   出版日期：2021-06-30   ISSN:1674-2869   CN:42-1779/TQ

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一种基于子空间方法的近场目标定位算法


空间目标定位是阵列信号处理中一项十分重要的研究方向，根据信号源距离接收阵列的远近可以分为远场信号源与近场信号源，相比于远场信号源，近场信号源处理起来更加复杂一些，此时信号源处于Fresnel区域，相对于阵列孔径需用球面波前精确描述，波前形状随阵列位置具有非线性变化特性，信号源的位置必须由距离（range）以及到达方向（direction of arrival，DOA）共同确定，所以近场目标定位可以归结为信号源距离以及到达方向联合估计的问题［1］。近场目标定位在电子监控，地震探测，声源定位等领域得到广泛应用［2-4］。近年来，许多针对近场目标定位的算法被提出，文献［5］提出了最大似然估计法，虽然其估计性能好，但是需要进行谱峰搜索，在多个信号源情况下计算量很大；文献［6］提出了二维多重信号分类（two-dimensional multiple signal classification，2D-MUSIC）算法，该方法对于近场信号源具有参数估计精度高的特点，但是由于需要二维谱峰搜索，所以该方法计算量较大。随着研究的深入，一些新的算法被提出，如Rooot-MUSIC算法［7］，改进的路径搜索算法［8］，加权线性预测法［9］，基于广义旋转不变子空间技术（estimation of signal parameters via rotational invariance technique，ESPRIT）技术的近场源目标定位算法［10］，这些算法都是在已有的算法基础上进行改进，在一定程度上降低了计算量。在现有提出的不需要谱峰搜索算法，文献［11］提出的基于高阶累积量的总体最小二乘ESPRIT-Like算法，文献［12］提出了一种基于四阶累积量的子空间的近场源角度参数估计和距离参数估计算法，这两种算法由于存在累积量的计算，使得计算量仍然很大。针对上述问题，本文所提出的结合PUMA技术［13-14］以及一维MUSIC方法［15］的算法，不需要高阶累积量计算以及多维搜索，降低了计算量，并且在距离参数以及角度参数估计性能方面也有所提高。1　信号模型图1中的阵列是一个均匀线阵，该均匀线阵由[M]个阵元组成，阵元间距[d≤ν4]，[ν]表示信号波长，假设有[P]个相互独立的近场窄带信号入射到此阵列上，[θp]与[rp]分别是第[p]个信号[sp(t)]的角度与距离参数，以阵列的中心[O]为参考点，则第[m]个阵元的接收信号可以表示为：[xt=p=1Psptejτpm+nmt] （1）式中，[m=1,2,?,M]，[nm(t)]为第[m]个阵元上的加性高斯白噪声，[τpm]是第[p]个信号到参考点[O]与第[m]个阵元的相位差可以表示为：[τpm=2πνrp2+kd2-2πrpkdsinθp-rp] （2）式中[k=[m-M-12]]，根据Fresnel近似［9］可以将式（2）表示为：[τpm=μpk+φpk2] （3）式中[μp]和[φp]与第[p]个信号的角度参数与距离参数有关，可以表示为：[μp=-2πdsinθpν] （4）[φp=πd2(cosθp)2νrp] （5）则可以将式（1）表示为［10-11］：[xt=p=1Psptej(μpk+φpk2)+nmt] （6）将式（6）写成矩阵形式可以表示为：[Xt=ASt+Nt] （7）式中[Xt]是阵列接收的信号矩阵其表示为[Xt=x1t,?,xM(t)T]，[A]是阵列的方向矩阵其表示为[A=aθ1,r1,?,aθp,rp]，[St]是信号矩阵其表示为[St=s1t,?,sP(t)T]，[Nt]是阵列接收的噪声矩阵其表示为[Nt=n1t,?,nMtT]，[A]中的列向量[aθp,rp]是导向矢量可以表示为： [aθp,rp=ej(μp1-M2+φp1-M22),?,][ej(μpM-12+φpM-122)] （8）在一定时间内对所有阵元的一次采样称为快拍，快拍数L有限的情况下，阵列协方差矩阵可以表为：[y=1Lt=1LX(t)X(t)H] （9）式中[X(t)H]表示对矩阵进行共轭转置变换。2　近场目标角度与距离估计2.1　近场目标角度估计对式（9）中的协方差矩阵进行特征值分解有：[y=USΛSUSH+UNΛNUNH] （10）式（10）中，[US=u1?uP]，[UN=uP+1?uM]，分别表示信号子空间与噪声子空间，[ΛS]是前[P]个较大特征值所组成的对角阵，其表示为[ΛS=diagλ1?λP]，[ΛN]是剩下的[M-P]个特征值所组成的对角阵，其表示为[ΛN=diagλP+1?λM]。根据线性预测（linear prediction，LP）理论，对于信号子空间[US]中每一个元素[upp=1,2,?,P]都满足以下线性关系［14］：[i=1Pαiupl-i=0] （11）式中[αi]为线性预测系数且[α1=0]，[i=1,2,?,P]，[l=P+1,P+2,?,M]，[upl]是[up]中的第[l]个元素。则角度参数[θp]与以下多项式相关［16］：[i=1Pαizp-i=0] （12）多项式的根为[z=ejμp]，[p=1,2,?,P]，根据式（11）可以构造误差矢量[q]：[q=Fb-g] （13）式中[F=F1TF2T?FPTT] （14）[b=α1α2?αPT] （15）[g=g1Tg1T?gPTT] （16）[Fp=upPupP-1?up1upP+1?upP ? ? ?up2?upM-1upM-2?upM-P] （17）[gp=-upP+1upP+2?upMT] （18）令[W]为对称加权矩阵，使用加权最小二乘法（weight least square，WLS）估计[b]，用[b]表示为：[b=argminbqHWq=FHWgFHWF] （19）[W]的最佳选择为［16］：[W=σ2EqqH-1=σ2ECuSuSHCH-1≈] [diag(λ12,λ22,…,λP2)?CCH-1] （20）式中[?]是Kronecker积，[uS=uT1?uTP]，[C=][Toeplitz([bP01×M-P-1],][[bP?b1101×M-P-1]]，由于[W]取决于未知的[b]，采用迭代的方式来估计[b]，过程如下：①设定[W=diag(λ21,λ22,?,λ2P)][?IM-P]，[IM-P]是[M-P]维的单位矩阵。②通过式（19）计算[b]。③令[b]=[b]，用式（20）重新计算[W]。④重复步骤2~3直到迭代次数结束。把[b]=[b]带入式（12）中，求得多项式的根[zp]，[p=1,2,?,P]，那么可以得到[μp]的估计值[μp]：[μp=∠zp] （21）式中[∠zp]表示取[zp]相角，根据式（4）可以得到角度参数的估计值[θp]：[θp=-arcsinμpν2πd] （22）2.2　近场目标距离估计将式（22）估计出来的角度参数[θp]代入到式（8）的导向矢量[aθp,rp]中，这样问题被简化为一维参数估计问题，由于噪声子空间在式（10）特征值分解中已经得到，所以可以通过MUSIC方法直接构造第[p]个信号关于距离的空间谱函数：[PpMUSICr=1aθp,rpHUNUNHaθp,rp] （23）通过在Fresnel区域[kF]中寻找[PpMUSICr]最大值来得到距离参数的估计值[rp]：[rp=argmaxr∈kFPpMUSICr] （24）为了避免参数配对问题，在每个估计方位形成MUSIC频谱，对于[P]个信号源，一共形成了[P]个频谱，所以需要进行[P]次一维搜索来实现距离估计。因此在本文算法中，总共需要[P]次一维搜索。3　仿真实验在仿真实验中，均匀线阵由10个阵元组成，阵元间距[d=ν4]，噪声为加性高斯白噪声，有2个窄带且相互独立的信号源入射到均匀线阵中，信号源到阵列参考点的距离即Fresnel区域应该满足以下条件：[0.62D3ν12≤rp≤2D2ν] （25）式中[D]为阵列孔径大小，该Fresnel区域在本文中为[2.9ν≤rp≤10.13ν]，所以第一个信号源的位置设为[θ1,r1=10°,3.5ν]，第二个信号源的位置设为[θ2,r2=20°,4.0ν]。实验中采用均方根误差R作为性能评价标准：[R=10log101Ni=1Nη-ηture2] （26）式中[η]表示估计的参数值，[ηture]表示真实值。实验一：实验中快拍数L固定为2 000，信噪比G从-5 dB增加到10 dB间隔1 dB，每个信噪比做500次Monte-Carlo实验。实验结果如图2所示。从图2可以看出，随着信噪比的变化，本文提出的算法可以比较准确地估计出近场信号源的距离与角度参数，且随着信噪比的增加，均方根误差曲线呈现出降低趋势，其性能优于method2［11］、method3［12］方法，接近于method1 ［6］方法。图2　信噪比变化对算法性能影响： （a）信号源1角度，（b）信号源2角度，（c）信号源1距离，（d）信号源2距离Fig. 2　Influence of SNR on algorithm performance： （a） angle of signal source 1， （b） angle of signal source 2， （c） range of signal source 1， （d） range of signal source 2实验二：实验中G固定为5 [dB]，快拍数L从500变化到2 000间隔100，每个快拍数做500次Monte-Carlo实验，实验结果如图3所示。从图3（a）~图3（d）可以看出，随着快拍数的变化，本文提出的算法可以比较准确地估计出近场信号源的距离与角度参数，且随着快拍数的增加，均方根误差曲线呈降低趋势，其性能优于method2［11］、method3［12］方法，接近于method1 ［6］方法。从图3（e）可以看出本文方法在不同快拍数下单次运行时间明显快于文献［6］、文献［11］以及文献［12］中提到的方法，从实验一与实验二可以看出，本文提出的算法在距离估计上信号源1的性能略好于信号源2的性能，说明距离阵列参考点越近，距离参数估计性能越好，在角度参数估计上，信号源1与信号源2的估计性能相似，文献［17］中理论分析得到的结论与此结果一致。同时本文算法具有运行时间短的特点，这也是本文算法的优势所在。4　结　论本文提出的一种结合PUMA技术与一维MUSIC方法的近场目标定位算法。首先需要将数据协方差矩阵进行特征值分解，得到信号子空间与噪声子空间，由于信号子空间中元素具有线性相位关系，可以利用此关系构建多项式，采用迭代方式求出线性系数，然后求出多项式的根，利用多项式的根估计出近场目标角度参数，接着利用估计出的角度参数采用一维MUSIC方法构建距离空间谱估计出近场目标距离参数。本文算法与现有算法相比，不需要进行高阶累积量计算，并且只需要一维搜索。从计算机仿真实验可以看出本文算法不仅计算量小，而且参数估计精度高。