《武汉工程大学学报》 2011年11期
87-89
出版日期：2011-11-30
ISSN:1674-2869
CN:42-1779/TQ
无限长载流柱面磁场的空间分布
0引言稳恒磁场的一个基本问题就是计算载流导体的空间磁场的分布,在工科《大学物理》的电磁学部分的教学中,主要着重讨论的是关于轴对称无限长的载流体的空间磁场分布.其求解方法是根据轴对称性,利用安培环路定理进行求解.对于有限长的载流线电流的空间磁场主要利用毕奥萨伐尔定理求解［1］.对于其他形状的线电流磁场的分布，圆形和多边形载流线圈研究得也比较多［26］.而对于面电流磁场分布的问题则研究得较少［7］.本文根据面电流在空间某点的磁场公式和场强叠加原理,给出了在直角坐标系下，截面为任意多边形的载流柱面在空间任意点的磁场分布的计算方法，并且运用这种方法求出了截面为菱形的无限长载流柱面空间磁场分布的普遍表达式.该计算结果对于工程设计与建造都有具体的指导意义.1面电流在空间某点磁场的计算公
式如图1所示,一个宽度为d的无限长平面上载有均匀分布的电流，电流密度为j.从P点作一个平面与该平面垂直，两平面交线AB的长度即为该面电流的宽度d，P点到A、B两点的距离为r1和r2，r1和r2之间的夹角为β.图1面电流磁场的分布
Fig.1Distribution of magnetic field generated by
surface electric current根据文献［7］的计算结果，当P点位于平面右侧时，整个载流平面在P点的磁感应强度为B∥=μ0j2πβ(1)B⊥=μ0j2πlnr2r1(2)当P点位于面电流左侧时，整个载流平面在P点的磁感应强度为：B∥=-μ0j2πβ(3)B⊥=μ0j2πlnr2r1(4)2面电流磁场在直角坐标系中的一
般表达式如果只需要求单个面电流的磁场分布，根据式(1)~(4)即可求得.但如果需要求的磁场分布是由多个面电流组成的柱面电流所产生的，由于每个面的方向各不相同，在求空间某点P处的总磁感应强度时，有必要先求出面电流磁场在直角坐标系中的一般表达式.图2面电流磁场在直角坐标系中的分布
Fig.2Distribution of magnetic field generated by
surface electric current in the xoy plane如图2所示,设图1中的P、A和B三点所在的平面为xoy平面，电流沿z轴方向，三点在xoy平面上的坐标分别为P(x,y)、A(x1,y1)和B(x2,y2).AB线和y轴的夹角为α.由几何关系可得，B⊥和x轴以及B∥和y轴之间的夹角也为α.面电流磁场在直角坐标系中的分量为Bx=B⊥cosα-B∥sinα(5)By=B⊥sinα+B∥cosα(6)由几何关系可得sinα=x1-x2d
cosα=-y1-y2d将式(1)到(4)代入式(5)和式(6)得：
Bx=-μ0j2πd［(x-x1)(y2-y1)-(x2-x1)(y-y1)｜(x-x1)(y2-y1)-(x2-x1)(y-y1)｜×(x1-x2)β+(y1-y2)lnr2r1］(7)
By=μ0j2πd［(x1-x2)lnr2r1-［(x-x1)(y2-y1)-(x2-x1)(y-y1)｜(x-x1)(y2-y1)-(x2-x1)(y-y1)｜(y1-y2)β］(8)式(8)中r1、r2和d分别为r1=(x-x1)2+(y-y1)2(9)r2=(x-x2)2+(y-y2)2(10)d=(x2-x1)2+(y2-y1)2(11)根据三角形的余弦定理，cosβ=r21+r22-d22r1r2
因而可以求出β为
β=cos-1x(x-x1-x2)+x1x2+y(y-y1-y2)+y1y2［(x-x1)2+(y-y1)2］×［(x-x2)2+(y-y2)2］
(12)对于截面为任意多边形的柱面电流空间磁场的分布，根据上述式(7)~(12)，可以求出其中任一面在空间某点P处产生的磁感应强度后，根据场强叠加原理，就可以求出整个柱面在空间的磁场分布.下面以截面为菱形的载流柱面为例，按照以上方法求出空间的磁场分布.
第11期熊伦：无限长载流柱面磁场的空间分布
武汉工程大学学报第33卷
Bx=-μ0j2πa2+b2［b(x-a)+ay｜b(x-a)+ay｜acos-1×x(x-a)+y(y-b)［(x-a)2+y2］×［x2+(y-b)2］-blnx2+(y-b)2(x-a)2+y2］-μ0j2πa2+b2×［-bx+a(y-b)｜-bx+a(y-b)｜acos-1×x(x+a)+y(y-b)［x2+(y-b)2］×［(x+a)2+y2］+bln(x+a)2+y2x2+(y-b)2］-μ0j2πa2+b2×［b(x+a)+ay｜b(x+a)+ay｜acos-1×x(x+a)+y(y+b)［(x+a)2+y2］×［x2+(y+b)2］+blnx2+(y+b)2(x+a)2+y2］-μ0j2πa2+b2-［bx-a(y+b)｜bx-a(y+b)｜acos-1×x(x-a)+y(y+b)［x2+(y+b)2］×［(x-a)2+y2］-bln(x-a)2+y2x2+(y+b)2］(13)
By=μ0j2πa2+b2［alnx2+(y-b)2(x-a)2+y2+b(x-a)+ay｜b(x-a)+ay｜×bcos-1×x(x-a)+y(y-b)［(x-a)2+y2］×［x2+(y-b)2］］+μ0j2πa2+b2［aln(x+a)2+y2x2+(y-b)2--bx+a(y-b)｜-bx+a(y-b)｜×bcos-1×x(x+a)+y(y-b)［x2+(y-b)2］×［(x+a)2+y2］］+μ0j2πa2+b2［-alnx2+(y+b)2(x+a)2+y2+b(x+a)+ay｜b(x+a)+ay｜×bcos-1x(x+a)+y(y+b)［(x+a)2+y2］×［x2+(y+b)2］］+μ0j2πa2+b2×［-aln(x-a)2+y2x2+(y+b)2bx-a(y+b)｜bx-a(y+b)｜×bcos-1×x(x-a)+y(y+b)［x2+(y+b)2］×［(x-a)2+y2］］(14)3截面为菱形的无限长载流柱面磁
场的空间分布如图3所示，设有一个无限长载流柱面与xoy平面的交线为菱形ABCD，该菱形各顶点坐标分别为A(a,0)、B(0,b)、C(-a,0)、D(0,-b).根据式(7)~(12)分别求出AB、BC、CD和DA四条边在空间某点P(x,y)产生的磁感应强度，再根据场强叠加原理可以求出载流柱面在P点的磁场分布.图3无限长载流柱面磁场的分布
Fig.3Distribution of magnetic field generated by
infinite cylinder electric current4讨论以上分析结果是在直角坐标系下推导而得到的，这种方法具有一般性.对于截面为任意多边形的无限长载流柱面磁场的分布，只要知道其截面上各顶点在xoy平面上的坐标，将式(7)代入到式(12)中再求代数和即可得到该载流柱面在空间任意点的磁场分布.这种计算方法含参量少、计算量小、容易得到正确结果.该结论应用于电机设计与制造、电磁测量仪器的设计与制造，受控核聚变装置的设计与搭建等都提供理论指导依据［8］.参考文献：