《武汉工程大学学报》  2008年01期 34-36   出版日期：2008-01-30   ISSN:1674-2869   CN:42-1779/TQ

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橡胶材料硬化的本构模型与有限元分析


0引言橡胶类材料产生大的应变时具有高度几何非线性、材料非线性，又呈现出硬化或软化现象，且体积不可压缩.橡胶材料的本构模型主要有［1］：a.基于分子链形式的统计学模型.b. 基于不变量形式的模型.c.基于主伸长的连续介质力学模型等.针对大应变硬化现象的本构模型目前有neoHookean型［2］、MooneyRivlin［3］型等.在对橡胶类材料的有限元分析过程中，由于其本构理论尚未成熟，导致分析结果的差别非常大.本文通过简单拉伸本构实验确定材料变形模式，用回归分析方法把实验得到的应力－应变数据拟合为一适当的应变能函数，建立了一种新的橡胶材料硬化模型，并推广到复杂的变形形式，通过验证并加入通用有限元软件，针对平面应力橡胶板进行了计算，为橡胶材料硬化时进一步的本构研究提供了基础.1橡胶材料硬化的本构实验橡胶材料的本构实验试件采用硫化橡胶，在160℃下保持10 MPa压力，硫化6 min，配方及质量比如表1所示.表1试件配方及质量比Table 1The testpiece in parts by weight
湛江农垦局天
然橡胶（1＃）SZnOSA防264N330CZTT100％1.0％4.0％2.0％1.5％3％1.0％0.2％1.1单轴拉伸实验试件为哑铃型，如图1所示.规格尺寸符合GB528标准，室温26℃，采用岛津电子拉伸实验机，拉伸速度为（500±50） mm/min，共5组试件，试件拉力与伸长比实验曲线如图2.图1单轴拉伸试件
Fig.1Rubber test piece for simple tension图2拉应力t伸长率λ曲线
Fig.2The curve of stress t versus extension1.2简单剪切由于没有国家标准，参照Treloar1943年的实验［4］，矩形试件，宽60 mm，厚2 mm，测试长度5 mm，用夹具分别夹住长边，室温160℃，拉伸速度为（500±50） mm/min，实验数据如表2.表2简单剪切的最大应力与应变
Table 2The maximal stress and strain on simple shear
试件最大应力/ N·mm-2最大应变/%15.3333493.3325.6667543.3335.1333486.67平均5.3777507.782橡胶类材料硬化时的新本构模型常温条件下，橡胶类材料为各项同性超弹性材料，本构模型以应变能函数的形式来表示，I1,I1,I3为右CauchyGreen变形张量 的第一、二、三基本不变量，在初始无应力构形且不考虑大应变硬化时应变能函数W可表示为［5］W=W(I1,I2,I3)I1=trC=C∶I=CiiI2=12｛(tr(C))2-tr(C2)｝=12{I21-CijCji}I3=detC.橡胶类材料在变形过程中近似认为体积不可压缩，变形后与变形前的体积比J=1.由本构实验，针对大应变时呈现出的明显硬化现象，本文提出一种新的应变能函数：W(λ1,λ2,λ3,φ)=μ(I1-3)(I2-3)+H(φ)φ=(λ*-λ1)(λ*-λ2)(λ*-λ3)dHdφ=-kφ2
λ1、λ2、λ3为主伸长，λ*为极限伸长.limφ→∞W(λ1,λ2,λ3,φ)=(λ1,λ2,λ3)
即φ为无穷时，又回到应变能不考虑硬化的传统形式，为所谓的根应变能.单轴拉伸时，第一类Piolakirchhoff应力
第1期朱艳峰，等：橡胶材料硬化的本构模型与有限元分析
武汉工程大学学报第30卷
f=μ2λ+1λ2-3λ-1λ2+λ2+2λ-31-1λ3+dHdφλ*λ*-1λ(λ-32-1).对单轴拉伸试验数据进行拟合，得：μ=0.004 8 MPa， λ*=9.47， k=9 233由此绘出拉伸曲线，如图3所示；将上述参数代入新本构方程，计算简单剪切时的f-λ曲线与实验值进行比较如图4所示.可知，本文提出的本构关系能够较好反映橡胶材料在单轴拉伸时的硬化现象，且与剪切硬化实验吻合良好，故可适用于对此类橡胶材料硬化进行力学分析.
图3单轴拉伸曲线
Fig.3The curve of simple extension图4简单剪切曲线
Fig.4The curve of simple shear3有限元分析第二类PiolaKirchhoff 应力张量S与Green应变张量E存在下列关系S·=C∶E·
S·与E·分别为应力张量与应变张量的率形式，因此S=∑3α=12Wλ2αNαNα
Nα为原始构形中沿主方向的正交单位向量.本构方程中的Lagrangian弹性张量C=∑3α,β=142Wλ2αλ2βNαNαNβNβ+
∑3α,β=1α≠β2Sαα-Sββλ2α-λ2βNαNβNαNβ
因此，对于新本构函数C=∑3α,β=14μ(3I1-3-λ2α-λ2β)NαNαNβ-∑3α,β=1α≠β2μ(I1-3)NαNβNαNβ
4算例本文利用通用有限元软件，加入新本构方程，对矩形均匀伸长的橡胶薄板进行了计算，薄板长100 mm，宽50 mm，厚2 mm，中心开孔直径5 mm，近似认为平面应力.计算时利用二阶平面应力减缩积分单元，1/4橡胶薄板的网格划分与位移、应力计算结果如图5，6，7所示，此时，板伸长为15.52 mm，最大应力0.6 MPa.图5中间开孔的1/4橡胶薄板网格划分
Fig.5Rubber elastic sheet with a circular hole  the geometry and the mesh for a quartersheet图6位移分布图
Fig.6Final displaced configuration of the quartersheet图7应力分布图
Fig.7Final stress distributing of the quartersheet