为了对热机的性能进行优化，许多学者以功率和效率作为优化目标［5-10］。除此之外，Salamon等［11］提出了?效率、?损失率和利润率的优化目标来研究热机的性能。在文献［11］的基础上，陈林根等［12-14］将热经济学［15-18］的结论引入有限时间热力学，并由此建立有限时间?经济分析法，对优化方法和优化目标进行拓展。严子浚［19］首先将功率与效率结合起来，命名它们的乘积为有效功率，作为热机的优化目标。吴锋等［20-21］考虑了卡诺热机工质的量子力学特性，得到一些与经典热力学分析结果不同的结论。Wang等［22］建立了三能级量子卡诺热机模型，得出了量子工质热机的优化区域。吴锋等［23］建立了量子斯特林热机模型，丰富了量子热机方向的研究。Wang等［24］建立了一个以谐振子为工质的量子卡诺热机模型，导出了功、效率、熵产率等几个重要参数的一般表达式。Yin等［25］在Wang等［26］的基础上建立了新的量子斯特林制冷循环模型，提出了广义势阱的概念，对制冷循环的最优性能进行优化。Zhang等［27］在国内首次成功建立量子热机实验装置，为量子热机的控制创造了可能。Fahriza等［28］建立了多能级费米子量子Lenoir循环模型，研究了压缩比与循环性能的关系。刘存等［29］建立了以极端相对论粒子为工质的量子斯特林热泵循环模型，分析了循环性能和性能参数之间的关系。丁佳等［30］建立了以费米子为工质的量子狄塞尔热泵循环模型，分析了压缩比、截止比和循环性能参数之间的关系。
在文献［22-30］的基础上，本文将建立一个在广义势阱［25］中的三能级量子卡诺热机模型。循环的工质为囚禁于广义势阱中的2个费米子。循环引入了高低温热源间的热漏。通过计算推导得出热机的无量纲功率、效率和有效功率等的表达式，并对循环的性能进行分析与优化。
1 广义势阱中的量子热力学描述
本文研究的对象是囚禁于势阱宽度为L的广义势阱中的2个费米子。在广义势阱中，系统的能量本征值［26］为：
[εn=?ωnσ=?λnσL-θ] （1）
式中[?]是约化普朗克常数。对于特定的能级，λ是一个常数，θ是该能级对应的指数，[ω=λL-θ]是为了符合量子能量表述而构造的频率。i是循环状态点，n是量子数，L是势阱壁宽度，σ是常数。在广义势阱中，系统总能量的期望值为：
[E=pinεin] （2）
式中[pin]为每个粒子分布在各个能级的概率，[i=1∞pin=i=1∞ain2=1,(i=1,2,?,∞)]，系数[ain]具有归一性。所以式（2）可表示为：
[E=i=1∞ain2εin=i=1∞pinεin] （3）
在经典热力学循环中，气缸中的活塞一直做往复运动。假设势阱中势阱壁的运动类似于活塞，而系统的波函数、能级都与势阱宽度L有关，会随着L变化。因此可以定义作用在势阱壁上的广义力为：
[F=-dEdL] （4）
2 循环过程分析
循环的工质为2个囚禁于广义势阱中的费米子，本文只考虑粒子在3个能级的分布。
费米子气体模型遵守费米-狄拉克统计，而理想气体模型中的粒子遵守麦克斯韦-波尔兹曼统计，在高温和低密度条件下，能级数远多于粒子数，费米-狄拉克分布过渡到经典的麦克斯韦-玻耳兹曼分布。
对于两费米子三能级系统（i=1，2；n=1，2，3），由式（3）可得系统的总能量为：
[E=i=12pinεin=?λL-θ(1σp11+2σp12+3σp13+] [1σp21+2σp22+3σp23)] （5）
循环由2个等能量过程（过程1→2和过程3→4）与2个等几率过程（过程2→3和过程4→1）组成，这两种过程分别与经典循环中的等温过程与绝热过程对应。系统吸收温度为TH的高温热源的热量，又释放热量给温度为TL的低温热源，考虑循环的不可逆性，引入了热源间的热漏，因此该循环是一个不可逆量子卡诺热机循环，如图1（a）所示。粒子跃迁的能级模型如图1（b）所示。作用在势阱壁上的力F（L）与势阱宽度L的关系图如图1（c）所示。
系统在4个过程的中间状态时的能量可表示为：
[EH=?λL-θ(pa1+2σpa2+3σpa3+pb1+]
[2σpb2+3σpb3)] （6）
式中[pa1, pa2, pa3, pb1, pb2, pb3]分别为2个费米子在3个能级中分布的概率。因此，在4个过程中作用在势阱壁的力可以表示成：
[F=-?λθL-θ-1(pa1+2σpa2+3σpa3+pb1+]
[2σpb2+3σpb3)] （7）
下面对4个过程逐一进行分析。
2.1 等能量膨胀过程
过程1→2为等能量膨胀过程，类似于经典热力学中的等温过程。在此过程中，势阱中的2个粒子的能量之和不发生变化。因此，由热力学第一定律有：
[δQ=dU+δW=δW] （8）
根据广义力的定义可得：
[δW=-FdL] （9）
在状态点1时，假设2个费米子分别处于n=1，n=2的能级，则系统的总能量为：
[E1=?λ(L-θ1+2σL-θ1)=?λL-θ1(1+2σ)] （10）
在状态点2时，假设2个费米子分别处于n=2，n=3的能级，则系统的总能量为：
[E2=?λ(2σL-θ2+3σL-θ2)=?λL-θ2(2σ+3σ)] （11）
从状态点1到状态点2的过程中，2个费米子的能量总和不变，可得：
[E1=E12=E2] （12）
由式（10）和式（12）可得：
[L-θ1(1+2σ)=L-θ(pa1+2σpa2+3σpa3+pb1+] [2σpb2+3σpb3)] （13）
[L-θ1(1+2σ)=L-θ2(2σ+3σ)] （14）
化简式（14）得：
[L2=L1(2σ+3σ)/(1+2σ)θ] （15）
由式（7）可得过程1→2中作用在势阱壁上的力为：
[F12=?λθL-θ-1(pa1+2σpa2+3σpa3+pb1+] [2σpb2+3σpb3)] （16）
由式（13）和式（16）可得：
[F12=?λLθ1(1+2σ)θL] （17）
过程1→2中，假设势阱壁匀速移动，势阱宽度从L1变为L2，则过程1→2中系统对外作功为：
[W12=L1L2F12dL=?λLθ1(1+2σ)ln2σ+3σ1+2σ] （18）
由式（8）可知，该过程中系统所吸收的热量为：
[Qin=W12=?λLθ1(1+2σ)ln2σ+3σ1+2σ] （19）
2.2 等几率膨胀过程
过程2→3为等几率膨胀过程，近似于经典热力学中的绝热过程。在此过程中，粒子在能级上的分布概率相同，系统不与外界发生热交换。因此，由热力学第一定律有：
[δQ=dU+δW=0] （20）
在状态点3时，两粒子分别处于n=2，n=3的能级，则系统的总能量为：
[E3=?λ(2σL-θ3+3σL-θ3)=?λL-θ3(2σ+3σ)] （21）
从状态点2到状态点3的过程中，粒子在各自所在的能级上的占有几率不变，则过程2→3中系统总能量为：
[E23=?λ(2σL-θ+3σL-θ)=?λL-θ(2σ+3σ)] （22）
过程2→3中作用在势阱壁上的力为：
[F23=?λθL-θ-1(2σ+3σ)=?λLθ+1(2σ+3σ)θ] （23）
过程中势阱宽度从L2变为L3，同理可得，系统对外作功为：
[W23=E3-E2=?λ(L-θ3-L-θ2)(2σ+3σ)] （24）
2.3 等能量压缩过程
过程3→4为等能量压缩过程。
过程中的总能量为：
[E34=E3=E4] （25）
在状态点4时，两粒子分别处于n=1，n=2的能级，总能量为：
[E4=?λ(L-θ4+2σL-θ4)=?λL-θ4(1+2σ)] （26）
由式（25）可得：
[L-θ4(1+2σ)=L-θ(Pa1+2σPa2+3σPa3+Pb1+] [2σPb2+3σPb3)] （27）
[L-θ4(1+2σ)=L-θ3(2σ+3σ)] （28）
化简式（28）得：
[L3=L4(2σ+3σ)/(1+2σ)θ] （29）
过程3→4中作用在势阱壁上的力为：
[F34=-?λθL-1L-θ3(2σ+3σ)=-?λLθ3(2σ+3σ)θL]
（30）
过程3→4中，势阱壁移动，势阱宽度从L3变为L4，则过程3→4中外界对系统所作的功为：
[W34=L3L4F34dL=-?λLθ3(2σ+3σ)ln1+2σ2σ+3σ] （31）
则该过程中系统向外释放的热量为：
[Qout=W34=?λLθ3(2σ+3σ)ln2σ+3σ1+2σ] （32）
2.4 等几率压缩过程
过程4→1为等几率压缩过程。
从状态点4到状态点1的过程中，粒子在能级上分布的概率不变，则过程4→1中系统总能量为：
[E41=?λ(L-θ+2σL-θ)=?λL-θ(1+2σ)] （33）
过程4→1中作用在势阱壁上的力为：
[F41=?λθL-θ-1(1+2σ)=?λLθ+1(1+2σ)θ] （34）
势阱宽度从L4变为L1，同理可得，外界对系统所作的功为：
[W41=E4-E1=?λ(L-θ4-L-θ1)(1+2σ)] （35）
3 性能参数
考虑循环的不可逆性，假设热漏率为[Q?r]，则每个循环周期中系统吸收的热量为：
[QH=Qin+Qrτ=?λLθ1(1+2σ)ln2σ+3σ1+2σ+Qrτ]
（36）
系统释放的热量为：
[QL=Qout+Qrτ=?λLθ3(2σ+3σ)ln2σ+3σ1+2σ+Qrτ]（37）
式中τ是循环的周期。假设势阱壁的运动类似于经典热力学中的活塞，一个循环的路程为2（L3-L1），势阱壁匀速移动的速度为[v]，则有[τ=2(L3-L1)/v]。
由式（36）和式（37）可知，系统对外所做的功：
[W=QH-QL=?λ[1+2σLθ1-2σ+3σLθ3]ln2σ+3σ1+2σ] （38）
引入势阱宽度比[r=L3/L1,(r>1)]，可得：
[W=?λLθ1(1+2σ)-r-θ(2σ+3σ)ln2σ+3σ1+2σ] （39）
循环功率为：
[P=Wτ=?λv2Lθ+11(1+2σ)-r-θ(2σ+3σ)(r-1)ln2σ+3σ1+2σ] （40）
假设热漏率［25］为：
[Qr=α?λv2Lθ+11ln2σ+3σ1+2σ] （41）
式中α为热漏系数。
无量纲功率为：
[P*=P?λv/2L1θ+1=(1+2σ)-r-θ(2σ+3σ)r-1ln2σ+3σ1+2σ]
（42）
由式（36）和式（39）有：
[η=WQH=(1+2σ)-r-θ(2σ+3σ)(1+2σ)+α(r-1)] （43）
由式（42）和式（43）有：
[Ep=P?η=[(1+2σ)-r-θ(2σ+3σ)]2(r-1)[(1+2σ)+α(r-1)]ln2σ+3σ1+2σ] （44）
4 循环性能分析
根据文献［25］确定相关参数：（σ=2，θ=2）时对应的势阱为一维无限深势阱或谐振子势阱，（σ=4/3，θ=2）时对应的势阱为四次方势阱，（σ=1，θ=1）时对应的势阱为一维无限深势阱中相对论粒子。
图2给出了不同势阱中无量纲功率P*、效率η、有效功率Ep与势阱宽度比r之间的关系曲线。取热漏系数[α=0.1]，图2（a）中，当r=2.36，（σ=2，θ=2）时势阱中的无量纲功率P*max=1.87；当r=2.72，（σ=1，θ=1）时势阱中的无量纲功率P*max=0.35；当r=1.95，（σ=4/3，θ=2）时势阱中的无量纲功率P*max=1.20，无量纲功率与势阱宽度比呈类抛物线型关系。图2（b）中，当r=6.74，（σ=2，θ=2）时势阱中的效率ηmax=0.85；当r=8.80，（σ=1，θ=1）时势阱中的效率ηmax=0.64；当r=5.43，（σ=4/3，θ=2）时势阱中的效率ηmax=0.83，效率与势阱宽度比呈类抛物线型关系。图2（c）中，当r=3.07，（σ=2，θ=2）时势阱中的有效功率Epmax=1.16；当r=3.94，（σ=1，θ=1）时势阱中的有效功率Epmax=0.16；当r=2.56，（σ=4/3，θ=2）时势阱中的有效功率Epmax=0.71，有效功率与势阱宽度比呈类抛物线型关系。
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图2 无量纲功率（a）、效率（b）、有效功率（c）与势阱宽度比的关系曲线
Fig. 2 Relationship curves between dimensionless power （a）， efficiency （b）， effective power （c） and potential well width ratio
图3给出了在（σ=2，θ=2）势阱中，不同热漏系数α对效率η与势阱宽度比r的关系曲线、有效功率Ep与势阱宽度比r的关系曲线的影响。图3（a）中，当α=0.1，r=6.74时势阱中的效率ηmax=0.85；当α=0.2，r=5.60时势阱中的效率ηmax=0.77；当α=0.3，r=4.94时势阱中的效率ηmax=0.72，当势阱宽度比较小时，热漏系数的变化对效率影响较小，当势阱宽度比较大时，热漏系数越大，效率越小。图3（b）中，当α=0.1，r=3.07时势阱中的有效功率Epmax=1.16；当α=0.2，r=3.02时势阱中的有效功率Epmax=1.12；当α=0.3，r=2.98时势阱中的有效功率Epmax=1.08，有效功率与势阱宽度比呈类抛物线型关系。当势阱宽度比较小时，热漏系数的变化对有效功率影响较小，当势阱宽度比较大时，热漏系数越大，有效功率越小。
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图3 热漏系数对效率（a）、有效功率（b）与势阱宽度比的关系曲线的影响
Fig. 3 Influences of heat leakage coefficient on relationship between efficiency （a）， effective power （b） and potential well width ratio
图4（a）给出了当[α=0.1]时，不同势阱中无量纲功率P*与效率η的关系曲线。由图4（a）可知，（σ=2，θ=2）时势阱中的最大无量纲功率P*max=1.87对应的效率η=0.54，最大效率ηmax=0.85对应的无量纲功率P*=0.81；（σ=1，θ=1）时势阱中的最大无量纲功率P*max=0.34对应的效率η=0.34，最大效率ηmax=0.64对应的无量纲功率P*=0.16；（σ=4/3，θ=2）时势阱中的最大无量纲功率P*max=1.20对应的效率η=0.49，最大效率ηmax=0.83对应的无量纲功率P*=0.47，无量纲功率P*与效率η的关系曲线均为扭叶型。
图4（b）给出了当[α=0.1]时，不同势阱中有效功率Ep与效率η之间的关系曲线。由图4（b）可知，当（σ=2，θ=2）时势阱中的有效功率Epmax=1.16，对应的效率η=0.70；当（σ=1，θ=1）时势阱中的有效功率Epmax=0.71，对应的效率η=0.68；当（σ=4/3，θ=2）时势阱中的有效功率Epmax=0.16，对应的效率η=0.55，有效功率Ep与效率η的关系曲线均为扭叶型。
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图4 无量纲功率（a）、有效功率（b）与效率的关系曲线
Fig. 4 Relationship curves between dimensionless power （a）， effective power（b） and efficiency
图5给出了在（σ=2，θ=2）势阱中不同热漏系数α对无量纲功率P*与效率η的关系曲线的影响。由图5可知，当α=0.1时势阱中的最大无量纲功率P*max=1.87对应的效率η=0.54，最大效率ηmax=0.85对应的无量纲功率P*=0.81；当α=0.2时势阱中的最大无量纲功率P*max=1.87对应的效率η=0.51，最大效率ηmax=0.77对应的无量纲功率P*=0.98；当α=0.3时势阱中的最大无量纲功率P*max=1.87对应的效率η=0.50，最大效率ηmax=0.72对应的无量纲功率P*=1.11。热漏系数越大，性能参数越小。
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图5 热漏系数对无量纲功率与效率的关系曲线的影响
Fig. 5 Influences of heat leakage coefficient on relationship between dimensionless power and efficiency
在α=0.1，σ=2，θ=2时计算得出：在有效功率最大时的效率比功率最大时的效率提高了12%；有效功率最大时的无量纲功率比无量纲功率最大值降低了6.4%；在功率最大时的有效功率比有效功率最大值降低了12.9%。由以上分析可以看出，相比于功率最大，以有效功率最大为优化目标时，能够在保证较大功率的同时使得效率有较大提高。
5 结 论
本文建立了一个不可逆量子卡诺热机模型，应用有限时间热力学与量子热力学的研究方法，推导出了功率、效率与有效功率等性能参数的表达式，研究了热漏系数和势阱宽度比对循环性能的影响，以有效功率做为优化目标对循环性能进行了分析与优化，结论如下：
（1）在热漏系数相同，势阱条件不同时，势阱宽度比和无量纲功率、效率、有效功率均呈类抛物线型关系，无量纲功率P*与效率η以及有效功率Ep与效率η均呈扭叶型关系。对于不同类型的势阱，都存在最佳的势阱宽度比，使得无量纲功率、效率、有效功率取最大值。
（2）在热漏系数不同，势阱条件相同时，热漏系数α对效率η、有效功率Ep与势阱宽度比r的关系曲线的影响在势阱宽度比较小时不明显，在势阱宽度比较大时较为明显，且性能参数的数值随着热漏系数α的增加而减小。
（3）在热漏系数不同，势阱条件相同时，热漏系数对无量纲功率与效率的关系曲线的影响在有效功率较小时不明显，在有效功率较大时较为明显，且热漏系数越大，效率越低。
（4）以无量纲功率和效率为优化目标时，工作在最大无量纲功率与最大效率之间工作点的热机具有较优的性能。在此区间的工作点，效率的降低可换来功率的增加，功率的降低也可以换来效率的增加。以有效功率为优化目标时，最大的有效功率意味着热机牺牲部分功率而得到了更高的效率，有效功率反映了功率与效率的折中。
本文研究结果对以广义势阱中的粒子作为工质的不可逆量子卡诺热机的设计有一定的理论参考价值。