《武汉工程大学学报》 2020年01期
97-101
出版日期：2021-01-25
ISSN:1674-2869
CN:42-1779/TQ
非均匀噪声环境下基于矩阵补全的DOA估计方法
空间信号波达方向（direction-of-arrival，DOA）估计是阵列信号处理中至关重要的问题之一。在理想情况下，即噪声为服从高斯分布的白噪声时，许多传统的空间谱估计算法已具有很好的性能，只需通过对阵列协方差矩阵进行特征分解，便能直接得到信号子空间和噪声子空间。然而在实际中，噪声环境在空间分布上往往是不均匀的，传感器所接收到的信号中所包含的噪声为非均匀噪声［1-2］，这使得特征分解存在明显的子空间泄漏问题，即部分真实信号子空间位于估计的噪声子空间中，从而导致严重的性能恶化甚至失效［3-4］。一般而言，相关色噪声的协方差矩阵的结构是未知的。但是，当阵列为稀疏阵列时，其相关色噪声可以进行简化。假设每个阵列元素之间的噪声为不相关的空间白噪声，噪声只影响阵列协方差矩阵主对角线上的元素，所以噪声协方差矩阵是对角矩阵，其对角元素不等且未知［5］。针对非均匀噪声背景下的DOA估计问题，一些学者提出利用低秩矩阵恢复理论［6］，通过包含噪声采样模型的自相关矩阵中未被污染的元素值来精确重构原矩阵。其中，Candès等［7］在2009年提出的矩阵补全（matrix completion，MC）理论，证明了在不相关假设条件下，当矩阵规模和采样率（观测稀疏度）满足一定条件时，大多数低秩矩阵恢复可以通过求解简单的凸优化问题，即半定规划来完成。并且进行了改进，使得该MC算法在观测到的部分元素被少量噪声破坏时，结果仍然是准确的［8-9］。虽然该算法是基于压缩感知理论［10-11］，但又与其通过原始信号的向量稀疏性来对数据进行重构的方法不同，MC算法是利用矩阵的低秩性，将矩阵秩优化问题松弛为核范数优化问题，从而完成对缺失数据的补全。由于除去对角线元素的阵列协方差矩阵与无噪声协方差矩阵相等。因此，从MC算法的角度，有可能从非对角项中恢复无噪声协方差矩阵，这也意味着噪声协方差矩阵可以同时确定［12］。 最大似然（maximum?likelihood，ML）算法作为DOA估计的几种常用算法之一，自提出以来已经出现了许多改进算法。如，Ollier等［13］提出了基于ML的迭代算法，该算法能够在传感器具有未知增益的环境下，用于联合标定和DOA估计；Fang等［14］提出了一种基于ML的二维DOA估计算法，该算法通过参数的迭代估计和对滤波过程的干预，从而来提高估计精度。但它的实现基于较为复杂的迭代过程，计算量庞大。所以，使用了结合交替投影（alternating projection，AP）的ML算法［15］，通过引入矩阵投影的更新公式来降低算法每次迭代的运算量。本文所提出的结合MC算法和最大似然交替投影（alternating proiection maximization，APM）算法的DOA估计方法，是在信号数目小于传感器数目，即无噪声协方差矩阵为低秩矩阵时，通过MC算法进行协方差矩阵的重构，并应用APM算法来完成DOA的估计。仿真结果验证了该算法在定位精度上取得的性能改进。1 信号模型考虑由M个阵元组成的均匀线阵接收P个窄带远场源信号，并且波达角度分别为[θ1,θ2,?,θP]，得到信号模型：[x(t)=p=1Pa(θp)sp(t)+n(t)=A(Θ)s(t)+n(t)] （1）式（1）中，空间矩阵的导向矢量阵表示为：[A(Θ)=[a(θ1),a(θ2),?,a(θP)]] （2）且[a(θ)=[1,ejπsinθ,?,ejπ(M-1)sinθ]T∈]是方向向量；[s(t)=[s1(t),s2(t),?,sP(t)]T∈]为信源矩阵； [n(t)=[n1(t),n2(t),?,nM(t)]T∈]表示空间阵列的噪声数据矢量，是均值为0，方差为[σ2i(i=][1,2,?,M)]的高斯过程，即服从如下高斯分布：[n(t)~CN(0,Q)] （3）式（3）中，为噪声协方差矩阵，在空间非均匀色噪声环境下可表示为：[Q=E{n(t)nH(t)}=diag{σ21,σ22,?,σ2M}] （4）则阵列协方差矩阵为：[R=E{x(t)xH(t)}=X+Q] （5）式（5）中[X?A(Θ)GAH(Θ)] （6）表示规模为M×M的无噪声协方差矩阵，且[G=E{s(t)sH(t)}]，由于信号的数目小于传感器的数目，所以[rank(X)=P0]，当采样数N越大时，协方差矩阵估计值[R]与[X]越接近，[σ]值越小。3 DOA估计APM算法是一种结合了交替优化方法和投影矩阵分解的方法。交替优化是多维优化问题的一种简单的求解方法，是通过迭代实现的。在迭代的每一步，均相对于一个参数进行优化，而其他参数保持不变。于是，[θp]的第[(i+1)]次迭代，可以通过下面的一维优化问题得到： [θ(i+1)p=argmaxθptrace YA(Θ(i)(p)),a(θp)X]（14）式（14）中，[argmax(f(θ))]是使得[f(θ)]取得最大值所对应的变量[θ]，[θ]为入射角；[X]为补全后的自相关矩阵；[YA(Θ)=A(Θ)(AH(Θ))-1AH(Θ)]为交替投影矩阵； [Θ(i)(p)]表示P-1维已计算出的参数矢量：[Θ(i)(p)=θ(i)1,?,θ(i)p-1,θ(i)p+1,?,θ(i)p] （15）该算法在对每个参数优化时均能沿着该参数的轴向找到其似然函数的一个极值点，而搜索速度则取决于似然函数在峰值附近的特性。由于在每次迭代中都执行最大化，因此最大化后函数的值不会减少，该算法必然收敛到局部最大值。根据初始条件的不同，局部最大值可能是全局最大值，也可能不是全局最大值。初始化步骤对全局收敛至关重要，是此算法的关键。下面以两个信号源的情况描述交替投影迭代算法：Step1 估计单一信源方向：[θ(0)1=argmaxθ1trace(Ya(θ1)X)] （16）Step2 假设第一个信号源参数是[θ1]，求解第二个信号源：[θ(0)2=argmaxθ2trace(Y[a(θ(0)1),a(θ1)]X)] （17）Step3 由迭代得：[θ(1)1=argmaxθ1trace(Y[a(θ1),a(θ(0)2)]X)] （18）按照step3同样的方法得到[θ(1)2]，重复上述步骤进行第[i]次迭代操作，直到满足收敛条件[θ(i)p-θ(i-1)p<ε][(ε>0)]为止。虽然，上述方法已将复杂的多维搜索过程简化至多个一维搜索问题，大大降低了运算量，但由于涉及矩阵求逆和乘法，每次迭代的计算量仍然很大。为进一步简化每次迭代的计算，下面引入了投影矩阵的一个基本性质，即投影矩阵更新公式，表示为：[Y[A(Θ(i)(p)),a(θp)]=YA(Θ(i)(p))+Ya(θp)A(Θ(i)(p))] （19）且式（19）中[a(θp)A(Θ(i)(p))=I-YA(Θ(i)(p))a(θp)]。 将式（19）代入式（14）得到：[θ(i+1)p=argmaxθptrace(Pa(θp)A(Θ(i)(p))X)] （20）通过引入一个归一化矢量，其公式表示如下：[bθp,Θ(i)(p)=a(θp)A(Θ(i)(p))a(θp)A(Θ(i)(p))] （21）将式（21）代入式（20），得：[θ(i+1)p=argmaxθpbHθp,Θ(i)(p)Xbθp,Θ(i)(p)] （22）则关于初始值的问题可简化为：[θ(0)p=argmaxθpbHθp,Θ(0)(p)Xbθp,Θ(0)(p)] （23）APM算法流程如下：步骤1：使用MC算法，得到协方差矩阵[X]；步骤2：通过式（23）计算得到P个估计信号的初始值；步骤3：将初始值代入式（22），进行一次一维搜索，判断是否满足搜索精度[θ(i)p-θ(i-1)p<ε]； 步骤4：若所得结果满足精度条件则停止，否则重复步骤3。="" 4 数值仿真="" 为了验证本文提出的基于矩阵补全的最大似然交替投影（mc-apm）算法的性能，进行以下仿真对比实验，测试信噪比（signal-to-noise="" ratio，snr）、快拍数和阵元数对算法性能的影响。="" 4.1 snr和快拍数对本文算法性能的影响="" 考虑有三个不相关的窄带信号分别以｛-10°，6°，17°｝为入射角度，入射至一个由10个阵元组成的半波长单元间距的均匀线性阵列。假设接收到的信号中所携带的噪声具有空间不均匀性，噪声协方差矩阵表示为：="" q="diag｛6，1，2，4.5，5.5，9，10，1，2.5，2｝" （24）="" 设仿真实验中快拍数n为500，[σ]为5，snr的值用k表示。在不同条件下，通过300个蒙特卡罗（monte-carlo）统计实验，计算了doa估计的均方根误差（root-mean-square="" error，rmse），rmse的值用r表示。="" 图1（a）为snr的值k从-10="" db变化到10="" db时，所求得的rmse。由图1（a）可见，只有在snr足够高的条件下，几种算法的性能才较为相近。此时，噪声对于信号子空间和噪声子空间分离的影响可以忽略不计。在snr比较低的情况时，tls-esprit［16］算法表现很差，基于mc="" ［7］的tls-esprit算法和未结合mc算法的apm算法虽然也有较好性能，但与之相比，mc-apm有更为显著的性能改进。="" 图1（b）是在snr为0="" db条件下，将快拍数n从100次增加至1="" 000次，分别进行300次="" monte-carlo统计实验。从仿真实验观测n增加时rmse的变化。从图1（b）中可以明显看出，本文所用算法的性能随着快拍数n的增加迅速提高，并且始终优于其他算法。="" 4.2 相同snr情况下阵元数对本文算法性能的影响="" 信号模型与上文仿真相同，在snr为0="" db的条件下，设快拍数n为500，="" 改变阵元数m的大小，在10至20的范围内，分别进行300次monte-carlo统计实验，观测其算法性能。="" 图2（a）为在此条件下进行doa估计的rmse。由图2（a）可得，在m增大的过程中，本文所用算法能够快速、稳定地提升精度，并且在矩阵低秩性较差的情况下，已有了很好的性能。其他算法估计误差都较高，而且稳定性较差。="" 图2（b）为在m增大时，算法运算时间的变化，由于本文算法在进行doa估计过程中先使用了mc算法，又加入了迭代过程，所以运算时间略高于其他算法，但在m增加过程中，运行时间并未出现明显增长，算法性能较为稳定。="" 5 结 论="" 针对在非均匀噪声条件下，传统doa估计算法性能恶化问题，本文提出了一种结合mc算法和apm算法的doa估计方法。该方法利用mc算法对信号协方差矩阵进行重构，从而减小了非均匀噪声的影响。在doa估计阶段，本文使用了apm算法，并通过引入矩阵投影的更新公式来降低计算复杂度。与传统的doa估计算法相比，该方法在非均匀噪声条件下有效的解决了角度估计精度差和分辨率低的问题。仿真结果表明，mc算法与apm算法相结合的mc-apm算法，能够明显抑制非均匀噪声影响。在低信噪比、短快拍情况下，该方法仍具有较好的doa估计性能。="">undefinedundefined