《武汉工程大学学报》  2012年12期 71-74   出版日期：2013-01-11   ISSN:1674-2869   CN:42-1779/TQ

---

压杆稳定临界力欧拉公式统一推导


0引言在工程力学或材料力学中对压杆稳定临界力推导方法很多，如静力法、能量法等\[1\].分几种不同的约束条件，列出各自不同的挠曲线近似微分方程来求解，但该法过于复杂，教材也不可能全部推导证明\[1\].文献\[12\]利用弯矩微分方程和相应的力学边界条件对不同约束条件下的压杆稳定临界力Euler（欧拉）公式做了统一推导.和一般教材相比，该方法过程虽然大大简化了，但压杆稳定问题本质上属于杆的整体变形效应问题，用边界条件求解容易出现不确定和解的不一致，这一点在文献\[3\]已经说明.与文献\[13\]不同，以细长压杆微小弯曲的平衡条件建立了推导压杆稳定临界力Euler公式的统一的挠曲线方程，结合不同约束条件，得到了文献\[4\]中的五种不同约束条件下的压杆稳定临界力Euler（欧拉）公式.1建立统一的挠曲线方程为便于分析，现取一端固定，另一端铰支的细长压杆进行研究.图1一端固定和另一端铰支的细长压杆失稳情况
Fig.1Situation of pole fixed at one end to the other
end of slender columns hinged instability如图1所示，一端固定，另一端铰支的细长压杆失稳后，为使杆件平衡，上端铰支座应有横向反力FR.于是挠曲线微分方程为d2wdx2=M(x)El=-FwEl+FREl(l-x)
令k2=FEl，上式可以写成d2wdx2+k2w=FREl(l-x)
以上微分方程的通解是w=Asinkx+Bcoskx+FRF(l-x)(1)
由此求出w的一介导数为dwdx=Akcoskx-Bksinkx-FRF(2)2不同杆端约束形式下的细长压杆
的临界力2.1两端铰支的压杆将边界条件FR=0，x=0，w=0代入式（1）得B=0 将边界条件FR=0，x=l，B=0，w=0代入式（1）得Asinkl=0
因为B=0，A与B不能同时为零，所以有A≠B即sinkl=0
进而有kl=nπ
将k2=FEI代入上式得F=n2π2EIl2
取n=1得临界压力Fcr=π2EIl2图2两端铰支的压杆失稳情况
Fig.2Situation of bending pole at both ends of the
hinge support第12期董冠文，等：压杆稳定临界力Euler公式统一推导
武汉工程大学学报第34卷
2.2一端固定和一端自由的压杆将边界条件FR=0，x=0,dwdx=0代入式（2）得A=0
将边界条件FR=0，x=l,w=0,A=0代入式（1）得
Bcoskl=0
因为A=0，A与B不能同时为零，所以有B≠0即coskl=0
进而有kl=(2n+1)π2
将k2=FEI代入上式得F=(2n+1)2π2EI(2l)2
取n=0得临界压力Fcr=π2EI(2l)2图3一端固定和一端自由的压杆失稳情况
Fig.3Situation of pole fixed at one end other one
end of the free bending2.3两端固定的压杆将边界条件FR=0,x=0,dwdx=0代入式（2）得A=0将边界条件FR=0,x=0,x=l,w(0)=w(l)代入式（1）得Bcoskl=B
因为A=0，A与B不能同时为零，所以有B≠0即coskl=1
进而有kl=2nπ
将k2=FEI代入上式得F=4n2π2EIl2
取n=1得临界压力Fcr=π2EI(12l)2图4两端固定的压杆失稳
Fig.4Situation of the bending pole fixed at both ends2.4一端固定和另一端铰支的压杆将边界条件x=0，w=0代入式（1）得B+FRFL=0（3）
将边界条件x=0,dwdx=0代入式（2）得Ak-FRF=0（4）
将边界条件x=l,w=0代入式（1）得Asinkl+Bcoskl=0(5)
由式（3）、式（4）得B=-Akl(6)
图5一端固定和另一端铰支的压杆失稳情况
Fig.5Situation of pole fixed at one end and
the other end hinged bending因为A与B不能同时为零，但式（6）式表明当A=0时，一定有B=0
只有当A≠0，B≠0时，才能同时满足式（6）和A与B不能同时为零的条件.所以可以将式（6）代入式（5）得tankl=klkl=4.49将k2=FEI代入上式得F的最小值为Fcr=π2EI(0.7l)2图6正切曲线与过原点的直线相交
Fig.6Situation of pole tangent curve and
the straight line of the origin intersect2.5一端固定和一端定向可移动夹紧的压杆将边界条件FR=0,x=0,w=0代入式（1）得B=0将边界条件FR=0，B=0，dwdx|x=l=-dwdx|x=0代入式（2）得Akcoskl=-Ak
因为A与B不能同时为零，B=0，一定有A≠0即coskl=-1
最小根为kl=π
图7一端固定和一端定向可移动夹紧的压杆失稳情况
Fig.7One end fixed and other one end of the
directional the movable clamping the strut instability将k2=FEI代入上式得临界压力Fcr=π2EIl2综上所述，以上计算的临界力与文献\[4\]一致，因此可以写成统一形式Fcr=π2EI(μ)2
式中：μ为长度因数，压杆两端铰支时，μ=1；压杆一端固定，一端自由时，μ=2；压杆两端固定时，μ=12；压杆一端固定，一端铰支时，μ=0.7；压杆一端固定，一端定向可移动夹紧时，μ=1.4结语本研究首次提出了以一端固定另一端铰支的细长压杆微小弯曲挠曲线方程作为统一的挠曲线方程，分别代入压杆两端铰支失稳、压杆一端固定另一端自由失稳、压杆两端固失稳定、压杆一端固定另一端定向可移动夹紧失稳的临界力边界条件的方法，得到了上述条件下的压杆稳定欧拉公式.若依据上述不同的约束条件，列出各自不同的挠曲线方程来求解，则加大了问题的求解难度，另外虽然也可用弯剪方程挠曲线方程对压杆稳定临界力欧拉公式做统一推导，但这样既考虑剪力又考虑弯矩，没有体现杆的整体变形效应.综上所述，压杆两端铰支失稳、压杆一端固定另一端自由失稳、压杆两端固失稳定、压杆一端固定另一端定向可移动夹紧失稳，这些情况都可以看做是压杆一端固定另一端铰支失稳情况下，横向反力FR=0的情形，压杆稳定属于杆真正意义上的整体变形效应，与拉、压、弯、扭本质上存在区别.