《武汉工程大学学报》  2011年11期 99-104   出版日期：2011-11-30   ISSN:1674-2869   CN:42-1779/TQ

---

一类概率依赖的不完全测量非线性系统的H∞滤波


0引言本文研究了一类具有不完全测量的，随机离散非线性系统的H∞滤波问题．首先阐述H∞性能指标．众所周知，它是用来估计系统干扰抑制水平的．在过去三十年中，自Zames［1］开创性研究以来，H∞控制、滤波理论得到了快速发展［210］，尤其是1988年Doyle等人［11］在美国控制年会上发表了著名的DGKF论文，证明了H∞控制器设计问题归结为求解两个适当的Riccati方程．同样，已经证明H∞滤波问题的可解性对于线性情况归结为一个适当的Riccati不等式，对于非线性情况归结为一个HamiltoJacobi不等式．非线性存在于几乎所有的现实系统中，对于状态方程或量测方程是非线性时，为了简化系统模型和研究方便，现有文献对非线性增加了不同的约束条件，广泛采用的如Lipschitz条件［1213］．本文考虑的是扇形有界非线性，Lipschitz条件作为其特例，使得这一非线性的描述，更具一般性，更加贴近实际工程情况．不完全测量包括了测量数据丢失和随机发生地通讯延时．在各类网络化控制系统中，例如因特网，传感器网络等，多个网络节点共享网络信道，由于网络带宽有限且网络中的数据流量变化不规则，当多个节点通过网络交换数据时，常常出现数据碰撞、多路径传输、连接中断、网络拥塞等现象，因而不可避免地出现信息交换时间延迟及丢包现象．本文通过一组Kronecker δ函数，建设性地用一个测量输出方程同时描述了网络化控制系统中随机出现地多重时延和测量数据丢失现象．通过仿真证明了文章所述H∞滤波器的有效性．1问题描述考虑下面一类随机离散非线性系统： x(k+1）=Ax(k）+qi=1Biφi(x(k-di））+
E1υ(k）+E2x(k）ω(k）
y(k）=δ(τk,0）Cx(k）+
qi=1δ(τk,di）Dii(x(k-di））+E3υ(k）
z(k）=L1x(k）
x(k）=Ψ(k）,k=-dq,-dq+1,…,0(1）其中x(k）∈Rn是状态向量，y(k）∈Rp是测量输出，z(k）∈Rq是要估计的系统输出，ω(k）是定义在概率空间(Ω,F,{Fk∈I+},P）上的一个一维零均值Gaussian白噪声序列并且满足Eω(k）2=1,υ(k）∈Rp，是外部随机信号，A，Bi，C，Di，E1，E2，E3，L1是相适维已知矩阵，di∈I+(i=1,2,…,q）是已知时延满足d1＜d2＜…＜dq，为研究方便设d0=0,Ψ(k）是给定初始条件．{τk}是独立同分布的随机变量，表示在时刻k发生时延的大小及测量丢失的概率［14］．δ(τk,di）是Kronecker delta函数满足：E{δ(τk,0）}=Prob{τk=0}=ρ0,E{δ(τk,di）}=Prob{τk=di}=ρi(2）其中ρi(i=0,1,…,q）是已知正数且满足qi=0ρi≤1．φi(·）和i(·）是满足下列扇形有界条件的非线性函数：φTi(x）(φi(x）-Nix）≤0,
Ti(x）(i(x）-ix）≤0,x∈Rn(3）其中Ni与i(i=1,2,…,q）是已知正对角矩阵．对系统(1）设计如下一般形式的线性滤波器：(k+1）=M1(k）+M2y(k）
(k）=L2(k）,(0）=0(4）其中∈Rn是状态估计，(k）是z(k）的估计，M1与M2是待设计滤波器参数，L2是已知相适维矩阵．设ξ(k）=［xT(k）T(k）］T，(k）=z(k）-(k）,可有增广系统：
ξ(k+1）=ξ(k）+qj=1jσdj(k）+1Zξ(k）ω(k）+
2υ(k）+δ0τkZξ(k）+qj=1δjτkjσdj(k）
(k)=ξ(k)(5）其中=A0
ρ0M2CM1，j=Bj0
0ρjM2Dj,1=E2
0,=0
M2C，2=E1
M2E3，j=00
0M2Dj，σdj(k）=φj(x(k-dj））
j(x(k-dj））,Z=I0，=L1-L2,
δjτk=δ(τk,dj）-ρj,(j=0,1,…,q）(6）为研究式(5）的随机稳定性，做下面定义：定义1在υ(k）=0的情况下，如果存在常数α＞0,β∈(0,1），使得
E{‖ξ(k）‖2}≤αβksup-dq≤-dj≤0E{‖ξ(j）‖2},k∈I+(7）则滤波误差动态系统(5）称为均方指数稳定．本文的目的是为系统(1）设计一个如(4）所示的H∞滤波器，使得下面两个条件同时满足：(R1）滤波误差动态系统(5）均方指数稳定；(R2）给定标量γ＞0，对于所有非零ν(k），在零初始条件下，滤波误差(k）满足∞k=0E{‖(k）‖2}＜γ2∞k=0E{‖υ(k）‖2}(8）第11期车艳，等：一类概率依赖的不完全测量非线性系统的H滤波
武汉工程大学学报第33卷
2主要成果引理1定义Ξ(k）:=ξT(k）ξT(k-1）…ξT(k-dq）T．考虑下面Lyapunov候选函数
Vk(Ξ(k））=ξT(k）Pξ(k）+qj=1k-1m=k-djξT(m）ZTQZξ(m）(9）其中P，Q是正定矩阵，Z在(6）中有定义，如果存在标量＞0使得
E{Vk+1(Ξ(k+1））|Ξ(k）}-Vk(Ξ(k））＜
-‖ξ(k）‖2(10）则滤波误差动态系统(5）是均方指数稳定．证明：据式(9）有
Vk(Ξ(k））≤λmax(P）‖ξ(k）‖2+
λmax(ZTQZ）qj=1k-1m=k-dj‖ξ(m）‖2(11）据式(10）与(11），对任意标量μ＞1有
E{μk+1Vk+1(Ξ(k+1））}-E{μkVk(Ξ(k））}=
μk+1［E{V+1(Ξ(K+1））}-E{Vk(Ξ(k））}］+
μk(μ-1）E{Vk(Ξ(k））}≤
μk(μ-1）E{λmax(P）‖ξ(k）‖2+
λmax(ZTQZ）qj=1k-1m=k-dj‖ξ(m）‖2}-
μk+1E‖ξ(k）‖2=
μk(μ-1）λmax(ZTQZ）qj=1k-1m=k-djE{‖ξ(m）‖2}+
μk［(μ-1）λmax(P）-μ］E{‖ξ(k）‖2}(12）对任一整数N≥dq+1，对式(12）两边从0至N-1关于k求和有
E{μNVN(Ξ(N））}-E{μ0V0(Ξ(0））}≤
ρ1(μ）N-1k=0μkE{‖ξ(k）‖2}+
ρ2(μ）N-1k=0qj=1k-1m=k-djμkE{‖ξ(m）‖2}
(13）其中ρ1(μ）=(μ-1）λmax(P）-μ
ρ2(μ）=(μ-1）λmax(ZTQZ）(14）接下来，对dq≥1,本文有
N-1k=0qj=1k-1m=k-djμkE{‖ξ(m）‖2}≤(qj=1-1m=-djm+djk=0+qj=1N-dj-1m=0m+djk=m+1+qj=1N-1m=N-djN-1k=m+1）μkE{‖ξ(m）‖2}≤
qμdq-1μ-1-1m=-dqE{‖ξ(m）‖2}+
qμμdq-1μ-1N-1m=0μmE{‖ξ(m）‖2}+
qμμdq-1μ-1N-1m=0μmE{‖ξ(m）‖2}(15）将(14）与(15）代入(13）则
E{μNVN(Ξ(N））}-E{μ0V0(Ξ(0））}≤
ρ1(μ）N-1k=0μkE{‖ξ(k）‖2}+
ρ2(μ）qμdq-1μ-1-1m=-dqE{‖ξ(m）‖2}+
ρ2(μ）qμμdq-1μ-1N-1m=0μmE{‖ξ(m）‖2}+
ρ2(μ）qμμdq-1μ-1N-1m=0μmE{‖ξ(m）‖2}≤
η(μ）N-1k=0μkE{‖ξ(k）‖2}+
qdqρ2(μ）μdq-1μ-1sup-dq≤m≤0E{‖ξ(m）‖2}(16）其中η(μ）=ρ1(μ）+2qμp2(μ）μdq-1μ-1因为η(1）=-≤0并且limμ→+∞η(μ）=+∞，则存在标量μ0≥1满足η(μ0）=0故对任一整数N≥dq+1，式(16）有
E{μ0NVN(Ξ(N））}-E{μ0V0(Ξ(0））}≤
qλmax(ZTQZ）dq(μ0dq-1）sup-dq≤m≤0E{‖ξ(m）‖2}(17）另
E{μ0NVN(Ξ(N））}≥λmin(P）‖ξ(N）‖2(18）且
E{μ00V0(Ξ(0））}≤
qdqmax(λmax(ZTQZ）sup-dq≤m≤0E{‖ξ(m）‖2}(19）则有
E{‖ξ(N）‖2}≤μ0-NΔsup-d q≤m≤0E{‖ξ(m）‖2}(20）其中
Δ=［q·dqλmax(ZTQZ）(μ0dq-1）+
q·dqmax(λmax(P）,λmax(ZTQZ））］［λmin(P）］-1．因此，滤波误差动态系统(5）满足定义1，是均方指数稳定，至此引理1证明完成．定理1给定扰动衰减γ＞0和滤波参数M1和M2．如果存在正定矩阵P=PT＞0，Q=QT使得矩阵不等式(21）成立，则v(k)=0系统(5）均方指数稳定且滤波误差(k）满足H∞条件(8）．Φ=ΩΩ00TP2
*Ω1Ω3Ω5
**Ω40
***-γ2I+T2P2＜0(21）
其中
Ω∶=-P+TP+ZTT1P1Z+qZTQZ+T+
ρ0(1-ρ0）ZTTPZ
Ω0∶=［TP1-ρ0ρ1ZTTP1…TPq-
ρ0ρqZTTPq］
Ω1∶=(λij）q×q
λij∶=-2I+TiPi+ρi(1-ρi）TiPi,
(i=1,2,…,q）
λij∶=TiPj-ρiρjTiPj,(i≠j,i,j=1,2,…,q）
Ω3∶=diag{1,…,q},
i:=［NTii］T,(i=1,…,q)
Ω4∶=diag{-Q}q,Ω5∶=［T2P1…T2Pq］T(22）证明：首先处理υ(k）=0情况下式(5）的稳定性分析，选择与式(9）相同的Lyapunov泛函，通过定义V(k）差分有
ΔVk=E{Vk+1(Ξ(k+1））|Ξ(k）}-Vk(Ξ(k））=ξ(k）+qj=1jσdj(k）TPξ(k）+qj=1jσdj(k）+
E{［δτk0Zξ(k）+qj=1δτkjjσdj(k）］T
P［δτk0Zξ(k）+qj=1δτkjjσdj(k）］}+
E{［1Zξ(k）ω(k）］TP［1Zξ(k）ω(k）］}-
ξT(k）Pξ(k）+qξT(k）ZTQZξ(k）-
qj=1ξT(k-dj）ZTQZξ(k-dj）=
ξT(k）TPξ(k）+2ξT(k）TPqj=1jσdj(k）+
qj=1σdiT(k）TjPqi=1iσdi(k）+
ρ0(1-ρ0）ξT(k）ZTTPZξ(k）-
2qj=1ρ0ρjξT(k）ZTTPjσdj(k）+
qj=1ρj(1-ρj）σdjT(k）TjPjσdj(k）-
2qi=1,j=1,i≠jρiρjσdiT(k）TiPjσdj(k）+
ξT(k）(ZTT1P1Z-P+qZTQZ）ξ(k）-
qj=1ξT(k-dj）ZTQZξ(k-dj）.(23）根据式(3）容易推出qj=1σdjT(k）(σdj(k）-jZξdj(k））≤0(24）其中ξdj(k）=ξ(k-dj），j在(22）中有定义．通过(23）与(24），有
ΔVk≤ξT(k）TPξ(k）+2ξTTPqj=1jσdj(k）+
qj=1σdjT(k）TjPqi=1iσdi(k）+
ρ0(1-ρ0）ξT(k）ZTTPZξ(k）-
2qj=1ρ0ρjξT(k）ZTTPjσdj(k）+
qj=1ρj(1-ρj）σdjT(k）TjPjσdj(k）-
2qi=1,j=1,i≠jρiρjσdiT(k）TiPjσdj(k）+
ξT(k）(ZTT1P1Z-P+qZTQZ）ξ(k）-
qj=1ξdjT(k）ZTQZξdj(k）-
2qj=1σdjT(k）σdj(k）+
2qj=1σdjT(k）jZξdj(k）(25）同时，根据式(21）存在标量使得ΛΩ00
*Ω1Ω3
**Ω4＜-I00
000
000(26）其中Ω0，Ω1，Ω3与Ω4在(22）中有定义，且Λ∶=-P+TP+ZTT1P1Z+qZTQZ+ρ0(1-ρ0）ZTTPZ(28）接下来，据(25）与(26）有ΔVk＜-‖ξ(k）‖2(27）至此，由引理1知滤波误差系统(5）均方指数稳定．下面处理υ(k）≠0情况，容易得到
E{Vk+1(Ξ(k+1））|Ξ(k）}-E{Vk(Ξ(k））}+E{T(k）(k）}-γ2E{υT(k）υ(k）}≤ηT(k）Φη(k）＜0(28）
其中η(k）∶=［ξT(k）σTd1(k）σTd2(k）…σdq(k）ξd1T(k）ξd2T(k）…ξdqT(k）υT(k）］T且Φ在(21）有定义．从0到∞关于k对式(28）求和有
∞k=0E{‖(k）‖2}＜γ2∞k=0E{‖(k）‖2}+
E{V0}-E{V∞}.(29）说明式(5）是均方指数稳定，因此在零初始条件下有∞k=0E{‖(k）‖2}＜γ2∞k=0E{‖(k）‖2}(30）至此，证明完成．下面的定理2为滤波器参数的设计提供了一个充分条件，为了简洁，定理的证明在此略去．定理2给定扰动衰减γ＞0，滤波误差系统(5）在υ(k）=0时均方指数稳定；并且滤波误差(k）在零初始条件下及任意非零υ(k）下，如果存在正定矩阵R=RT＞0，S=ST＞0，Q=QT＞0，实数矩阵Q1,Q2与Q3使得式(31）成立，则(5）均方指数稳定．
Ψ1100Ψ14Ψ150Ψ17Ψ18
*Ψ220Ψ240Ψ2600
**-γ2IΨ340000
***Ψ440000
****Ψ55000
*****Ψ6600
******Ψ77
*******Ψ88＜0(31）其中Ψ11=Ψ44=Ψ55=Ψ77=-S-S
-S-R，Ψ14=ATSATR+ρ0CTQ1+Q2
ATSATR+ρ0CTQ1,Ψ15=0ρ0CTQ1
0ρ0CTC1,Ψ17=ET2SET2R
ET2SET2R,Ψ18=qQL1T-Q3L2T
qQL1T,Ψ22=-diag{2I}2qdiag{1,…,q}
diag{1T,…,Tq}-diag{Q}q,Ψ24=Ψ241Ψ242
00,Ψ241=Ψ2411…Ψ241qT,Ψ241i=SBi0,(i=1,2,…,q）,Ψ242=Ψ2421…Ψ242qT,Ψ242i=RBiρiQ1TDi,(i=1,2,…,q）Ψ26=Ψ261
0,Ψ261=diag{Ψ2611,…,Ψ261q},Ψ261i=diag{0，ρiDiTQ1},(i=1,2,…,q）Ψ34=E1TSE1TR+E3TQ1,Ψ66=diag{Ψ11}q,Ψ88=diag{-Q,-I}.进一步，式(31）满足，则期望的滤波参数是M1=X12-1Q2TS-1Y12-1，M2=X12-1Q1T(32）其中X12与Y12是任一非奇异矩阵满足
X12Y12T=I-RS-1．综上所述，文章为非线性随机系统(1）关于测量丢失和随机发生的通讯时延完成了H∞滤波器的设计．值得说明的是包含了线性对象和LMIs的式(31）很容易通过常用的数值软件解得．3数值例子本节通过数值例子来说明文章所提出理论的有效性．给定系统(1）的参数如下：A=0.10.1
0.20.1，B1=0.30.2
0.20.3,B2=0.250
00.25,C=10
01,D1=0.250
00.25,D2=0.230
00.23,E1=E2=E3=0.20
00.2,L1=L2=0.60
00.6，N1=0.170
00.33，1=0.170
00.33,N2=0.170
00.35,2=0.170
00.35,q=n=2.设d1=1，d2=2，ρ0=0.7，ρ1＝0.15，ρ2=0.15，γ＝0.95，使用Matlab解式(31）得M1=-0.03020.1595
0.14960.0012，M2=-0.29070.0873
0.10830.2478．仿真时，设置初始条件为x(-2）=［0.1-0.1］T，x(-1）=0.2-0.2T，x(0）=0.3-0.3T．仿真结果详见图1与图2，图1是实际测量输出和理想测量输出的比较，图2是滤波误差．仿真结果证明本文所述滤波器性能很好．图1实际测量输出y1(1,k）与理想测量输出y2(1,k）
Fig.1Actual measurements y1(1,k) and ideal measurements y2(1,k) 图2滤波误差(2,k）
Fig.2Filtering eror (2,k)