《武汉工程大学学报》 2010年01期
104-106
出版日期：2010-01-31
ISSN:1674-2869
CN:42-1779/TQ
任意多边形平面载流线圈磁场的空间分布
0引言载流线圈空间磁场分布的计算是电磁学中的一个常见问题，在各种形状的载流线圈中，具有轴对称性的圆形载流线圈研究得比较多［15］，而对不具有轴对称性的多边形载流线圈的磁场问题则研究得很少，且仅限于一些特殊的多边形［68］.本文根据一段载流直导线在空间某点的磁场矢量公式，将多边形载流线圈视为多段载流导线，然后根据场强叠加原理，给出了求任意多边形平面载流线圈在空间任意点的磁场分布的方法，并且运用这种方法求出了任意多边形平面载流线圈磁场的空间分布的普遍表达式.
1一段载流直导线在空间某点的磁场矢量公式如图1所示，一段载流直导线在空间某点P处产生的磁感应强度B 的大小为：
B=μ0I4πr0(cos θ1-cos θ2)(1)
B的方向与电流的方向成右手螺旋关系.如果只需要求一段载流直导线的磁场分布，根据(1)式，只要知道电流强度I，P点到导线的垂
图1一段载流直导线的磁场分布
Fig.1Distribution of magnetic field generated by a current straight wire直距离r0，导线与导线端点到P点连线的夹角θ1和θ2，就可以进行求解.但如果需要求的磁场分布是由多段载流直导线组成的多边形载流线圈所产生的，由于磁感应强度是矢量，而(1)式只考虑了大小，在求空间某点P处的总磁感应强度时，有必要将其改写为矢量式.设图1中载流直导线的长度为d，从P点指向导线两端点的矢量分别为r1和r2，则点P处的磁感应强度的方向和r1×r2矢量的方向相同.考虑方向后，(1)式中的磁感应强度可以写成矢量式(2).
B=μ0I（r1×r2）4πr0|r1×r2|（cos θ1-cos θ2）(2)设r1和r2之间的夹角为φ，则|r1×r2|=r1r2sin φ，r0=r1r2sin φd.将|r1×r2|和r0代入式(2)中得：
B=μ0Id（r1×r2）4πr21r22sin2φ（cos θ1-cos θ2）(3)根据三角形的余弦定理得：
cos θ1=r21+d2-r222r1d(4)
cos θ2=-cos(π-θ2)=-r22+d2-r212r2d(5)
sin2φ=1-cos2φ=1-(r21+r22-d2)24r21r22(6)将(4)式、(5)式和(6)式代入(3)式中得：
B=μ0I（r1×r2）4πr21r22-r21+r22-d222×
r21+d2-r222r1+r22+d2-r212r2(7)如图2所示，载流直导线P1P2位于Oxy平面之内，从空间某点P（x，y，z）指向P1（x1，y1，0）和P2（x2，y2，0）的矢量分别为r1和r2.式（7）中矢量r1和r2以及导线长度d分别为：
r1=（x1-x）i+（y1-y）j-zk（8）
r2=（x2-x）i+（y2-y）j-zk（9）
d=（x1-x2）2+（y1-y2）2（10）图2OXY平面内一段载流直导线的磁场分布
Fig.2Distribution of magnetic field generated by a current straight wire in the OXY plane将(8)、(9)和(10)式代入(7)式中得：
B=μ0I（r1×r2）4πRD1r1+D2r2（11）(11)式即为要求的一段载流直导线在空间某点的磁场矢量公式.其中，R、D1和D2分别为：
R=［（x1-x2）2+（y1-y2）2］z2+［（y1-y2）x-
（x1-x2）y+（x1y2-x2y1）］2（12）
D1=［（x21+y21）-（x1-x2）x-（y1-y2）y-
（x1x2+y1y2）］(13)
D2=［（x22+y22）-（x2-x1）x-（y2-y1）y-
（x1x2+y1y2）］(14)根据(8)式和(9)式可以算出矢量r1×r2在三个坐标轴上的分量分别为：
|r1×r2|x=z（y2-y1）(15)
|r1×r2|y=z（x1-x2）（16）
|r1×r2|z=x1y2-x2y1+xy1-x1y+x2y-xy2（17）将(15)、(16)和(17)式代入(11)式中可以求出多边形任一条边在空间某点P处产生的磁感应强度在三个坐标轴上的分量分别为：
Bx=μ0Iz（y2-y1）4πRD1r1+D2r2(18)
By=μ0Iz（x1-x2）4πRD1r1+D2r2(19)
Bz=μ0I（x1y2-x2y1+xy1-x1y+x2y-xy2）4πR×
D1r1+D2r2(20)在求出多边形任意边在空间某点P处产生的磁感应强度后，根据场强叠加原理，就可以求出整个线圈在空间的磁场分布.下面以菱形平面载流线圈为例，按照以上方法求出该线圈在空间的磁场分布.
第1期岺敏锐，等：任意多边形平面载流线圈磁场的空间分布
武汉工程大学学报第32卷
2菱形平面载流线圈磁场的空间分布如图3所示，设有一菱形载流线圈ABCD位于OXY平面之内，各顶点坐标分别为A（a，0，0）、B（0，b，0）、C（-a，0，0）、D（0，-b，0）.根据(18)到(20)式分别求出AB、BC、CD和DA四条边在空间某点P（x，y，z）产生的磁感应强度，再根据场强叠加原理可以求出整个菱形平面载流线圈在P点的磁场分布.
图3菱形平面载流线圈的磁场分布
Fig.3Distribution of magnetic field generated by a rhombic plane current coilBx=μ0Izb4π［（a2+b2）z2+（bx+ay-ab）2］×
a2-ax+by（x-a）2+y2+z2+b2+ax-byx2+（y-b）2+z2-
μ0Izb4π［（a2+b2）z2+（bx-ay+ab）2］×
b2-ax-byx2+（y-b）2+z2+a2+ax+by（x+a）2+y2+z2-
μ0Izb4π［（a2+b2）z2+（bx+ay+ab）2］×
a2+ax-by（x+a）2+y2+z2+b2-ax+byx2+（y+b）2+z2+
μ0Izb4π［（a2+b2）z2+（bx-ay-ab）2］×
b2+ax+byx2+（y+b）2+z2+a2-ax-by（x-a）2+y2+z2(21)
By=μ0Iza4π［（a2+b2）z2+（bx+ay-ab）2］×
a2-ax+by（x-a）2+y2+z2+b2+ax-byx2+（y-b）2+z2+
μ0Iza4π［（a2+b2）z2+（bx-ay+ab）2］×
b2-ax-byx2+（y-b）2+z2+a2+ax+by（x+a）2+y2+z2-
μ0Iza4π［（a2+b2）z2+（bx+ay+ab）2］×
a2+ax-by（x+a）2+y2+z2+b2-ax+byx2+（y+b）2+z2-
μ0Iza4π［（a2+b2）z2+（bx-ay-ab）2］×
b2+ax+byx2+（y+b）2+z2+a2-ax-by（x-a）2+y2+z2(22)
Bz=μ0I(ab-bx-ay)4π［（a2+b2）z2+（bx+ay-ab）2］×
a2-ax+by（x-a）2+y2+z2+b2+ax-byx2+（y-b）2+z2+
μ0I(ab+bx-ay)4π［（a2+b2）z2+（bx-ay+ab）2］×
b2-ax-byx2+（y-b）2+z2+a2+ax+by（x+a）2+y2+z2+
μ0I(ab+bx+ay)4π［（a2+b2）z2+（bx+ay+ab）2］×
a2+ax-by（x+a）2+y2+z2+b2-ax+byx2+（y+b）2+z2+
μ0I(ab-bx+ay)4π［（a2+b2）z2+（bx-ay-ab）2］×
b2+ax+byx2+（y+b）2+z2+a2-ax-by（x-a）2+y2+z2(23)
3结语根据以上分析结果，对于任意多边形平面载流线圈，只要知道其各顶点在OXY平面上的坐标，代入(18)到(20)式中再求代数和即可得到该载流线圈在空间任意点的磁场分布.方法简单、明了，易于理解，可以应用到普通物理的教学中.