《武汉工程大学学报》 2009年12期
79-81
出版日期：2009-12-28
ISSN:1674-2869
CN:42-1779/TQ
数列组的广义线性相关性
1问题的提出文献［1］中给出了数列组的齐次线性相关性，但其具有很大的局限性，例如数列组A：1n，12n+1显然有很强的线性相依关系，但此数列组不是齐次线性相关的.为此，我们有必要将齐次线性相关的概念加以延伸，使之具有更广泛的适应性.
2定义定义1［23］ 如果按某一法则对每一个n∈N+都对应着一个确定的实数xn，这些实数按照下标从小到大排列得到一个序列
x1，x2，…，xn，…
叫做数列，简记为{xn}.定义2有限个数列{x1n}，{x2n}，…，{xmn}称为一个数列组.定义3给定数列组A:{x1n}，{x2n}，…，{xmn}，对任何一组实数k1，k2，…，km以及常数a，数列
{k1x1n+k2x2n+…+kmxmn+a}
简记为k1x1n+k2x2n+…+kmxmn+a
称为数列组A的一个广义线性组合数列，其中k1，k2，…，km称为这个线性组合的系数.当a=0时，称为齐次线性组合；当a≠0时，称为非齐次线性组合.定义4如果数列{yn}为数列组A：{x1n}，{x2n}，…，{xmn}的一个广义线性组合，即存在一组实数k1，k2，…，km，以及常数a，使得
yn=k1x1n+k2x2n+…+kmxmn+a
则称数列{yn}可以由数列组A广义线性表出（或广义线性表示）.当a=0时，称数列{yn}可以由数列组A齐次线性表出（或齐次线性表示）；当a≠0时，称数列{yn}可以由数列组A非齐次线性表出（或非齐次线性表示）.定义5设A：{x1n}，{x2n}，…，{xmn}为一数列组，如果存在一组不全为零的实数k1，k2，…，km，以及常数a，使得
k1x1n+k2x2n+…+kmxmn+a≡0
则称这数列A广义线性相关.当a=0时，称这数列A齐次线性相关；当a≠0时，称这数列A非齐次线性相关.否则称数列A广义线性无关.显然，（1） 如果数列A中含有数列{c}，即数列中的每一项都等于常数c，数列组A一定广义线性相关.（2） 数列A广义线性无关的充分必要条件为：对任意常数a，如果存在一组数k1，k2，…，km，使得
k1x1n+k2x2n+…+kmxmn+a≡0
则k1，k2，…，km一定全为零，即k1=k2=…=km=0.进而有数列A广义线性无关的充分必要条件为：如果存在一组数k1，k2，…，km，使得
k1x1n+k2x2n+…+kmxmn≡0
则k1，k2，…，km一定全为零，即k1=k2=…=km=0.因此有（3） 广义线性无关的数列组一定齐次线性无关.（4） 齐次线性相关的数列组一定广义线性相关.定义6如果数列数列A：{x1n}，{x2n}，…，{xmn}中，存在r(0≤r≤m)个数列{xi1n}，{xi2n}，…，{xirn}满足：（1） {xi1n}，{xi2n}，…，{xirn}广义线性无关；（2） 数列A中的任何一个数列都可以由{xi1n}，{xi2n}，…，{xirn}广义线性表出，则称这r个数列所构成的数列组{xi1n}，{xi2n}，…，{xirn}为数列组A的一个广义极大线性无关组，其中r称为数列组的秩，记作R(A)，即R(A)=r.定义7设A：{x1n}，{x2n}，…，{xmn}，B：{y1n}，{y2n}，…，{ysn}为两个数列组，如果数列组B中的任一数列都可以由数列组A广义线性表出，则称数列组B可以由数列组A广义线性表出.定义8设A：{x1n}，{x2n}，…，{xmn}，B：{y1n}，{y2n}，…，{ysn}为两个数列组，如果数列组A与B可以相互广义线性表出，则称数列组A与B广义等价.
第12期杨建华，等：数列组的广义线性相关性
武汉工程大学学报第31卷
3定理定理1数列组A：{x1n}，{x2n}，…，{xmn}广义线性相关的充分必要条件为数列组A中至少有一个数列可以由其余的数列所构成的数列组广义线性表出.证明（充分性）如果数列A中有某个数列，比如可以由其余的数列广义线性表出
xmn=k1x1n+k2x2n+…+km-1xm-1，n+a
则
k1x1n+k2x2n+…+km-1xm-1，n-xmn+a=0
即数列组A广义线性相关.（必要性）如果数列组A广义线性相关，则存在一组不全为零的数k1，k2，…，km，不妨设km≠0，以及常数a，使得
k1x1n+k2x2n+…+kmxmn+a≡0
则
xmn=-k1kmx1n-k2kmx2n-…-km-1kmxm-1，n-akm
即数列{xmn}可以由其余的数列{x1n}，{x2n}，…，{xm-1，n}广义线性表出.定理2数列组A：{x1n}，{x2n}，…，{xm}广义线性相关的充分必要条件为数列组A的秩小于，即R(A)<m.证明充分性显然，下证必要性.设数列组A：{x1n}，{x2n}，…，{xmn}广义线性相关，即存在一组不全为零的数k1，k2，…，km，不妨设km≠0，以及常数a使得
k1x1n+k2x2n+…+kmxmn+a≡0
则
xmn=-k1kmx1n-k2kmx2n-…-km-1kmxm-1，n-akm
即数列{xmn}可以由其余的数列{x1n}，{x2n}，…，{xm-1，n}广义线性表出.而其余的数列当然可以由其自身广义线性表出，因此，由定义数列组A的秩R（A）<m.推论数列组A：{x1n}，{x2n}，…，{xmn}广义线性无关的充分必要条件为它的秩R(A)=m.定理3数列组A：{x1n}，{x2n}，…，{xmn}与其任一个广义极大线性无关组等价.证明不妨设A0：{x1n}，{x2n}，…，{xrn}为其一个广义极大线性无关组，显然，数列组可以由数列组A0广义线性表出，反过来，由定义6可知，数列组A可以由A0广义线性表出，所以A与A0广义等价，即数列组A与其一个广义极大线性无关组等价.定理4数列组B：{y1n}，{y2n}，…，{ysn}可以由数列组A：{x1n}，{x2n}，…，{xmn}线性表出的充分必要条件是A的秩等于由A组和B组所构成的新的数列组C：{x1n}，{x2n}，…，{xmn}{y1n}，{y2n}，…，{ysn}的秩，即R（A）=R（C）=R（A，B）.证明设A0：{xi1n}，{xi2n}，…，{xirn}为数列组A的一个广义极大线性无关组.充分性：由R(A)=R(C)=R(A，B)知，A0也为C的一个广义极大线性无关组，所以，C中的任一数列都可以由A0广义线性表出，由此可知数列组B中的任一数列都可以由A0广义线性表出，进而可以由数列组A广义线性表出.必要性：设数列组B可以由数列组A广义线性表出，而数列组A可以由A0广义线性表出，因此数列组C可以由A0广义线性表出，所以，A0为数列组C的一个广义极大线性无关组，所以C的秩等于数列组A的秩，即R(A)=R(C)=R(A，B).定理5如果数列组B：{y1n}，{y2n}，…，{ysn}可以由数列组A：{x1n}，{x2n}，…，{xmn}广义线性表出，则数列组B的秩不超过数列组A的秩，即R(B)≤R(A).证明由定理4有R(A)=R(A，B)，而R(B)≤R(A，B)，所以R(B)≤R(A).定理6如果数列组A与数列组B广义等价，则A的秩等于B的秩，即R(A)=R(B).由定理5及数列组广义等价的定义即知结论成立.定理7广义线性相关的两个数列的敛散性相同.定理8如果数列组A广义线性相关，且A中的任一数列都是收敛的，则它的任一广义线性组合也是收敛的，且收敛于数列极限的相同广义线性组合.
4例题例1数列组A：{n}，{2n}，{3n+1}广义线性相关，数列{n}为A一个广义极大线性无关组，同样数列{2n}和{3n+1}也分别都是A的广义极大线性无关组.例2证明数列组A：{n}，{n2}广义线性无关.证明如果存在一组数k1，k2，以及常数a使得
k1n+k2n2+a=0
则分别取n=1，n=2，n=3，得方程组
k1+k2+a=0
2k1+4k2+a=0
3k1+9k2+a=0
其只有零解，k1=k2=0，（a=0），所以数列组A广义线性无关.例3数列组A：1n，12n+1广义线性相关，且分别有极限0和1，它的任一线性组合
k11n+k212n+1+a
也收敛，且有极限0k1+1k2+a=k1+a.例4数列组A：n2+1n，n2-1n线性无关，且都没有极限，但
n2+1n-n2-1n=2n
有极限为0.