《武汉工程大学学报》 2009年09期
23-26
出版日期：2009-09-28
ISSN:1674-2869
CN:42-1779/TQ
框架结构基准有限元模型的理论及试验
0引言突发事故、地震等自然灾害以及环境因素等都可能会导致工程结构的损伤.对于在役的大型工程结构来说，长期的健康监测或定期的状态评估能够使人们及时掌握工程结构整体工作状态的变化.而无论是对工程结构的复杂响应分析（如地震响应分析以及抗风稳定性分析等方面的动力分析），还是在对工程结构进行长期监测和健康状态评估，一个准确和有效的基准有限元模型都是不可缺少的［1，2］.目前已有的模型修正方法大致可分为基于优化的方法、灵敏度分析方法和特征结构分配方法.其中基于优化算法的修正方法可归结为求解一个非线性的约束优化问题，通过选取大量初始点进行优化计算，在得到的一组局部最优解中进行比较，从而获得最终的全局最优解，采用这类算法计算简单、实用性强，具有广阔的理论前景和较强的工程应用价值［3，4］.1优化算法的基本原理优化算法通过构建优化模型，运用各种优化方法，通过在满足设计要求的条件下迭代计算，求得目标函数的极值，得到最优化设计方案.优化设计理论涉及到设计变量、状态变量和目标函数等基本概念.优化问题的数学模型中，设计变量为：x=［x1，x2，…，xn］
xi≤xi≤xi（i=1，2，…，n）（1）
式（1）中：n为设计变量数目.目标函数： f=min{f（x）}（2）状态变量的约束范围为：gi（x）≤gi（i=1，2，…，m1）
hi（x）≤hi（i=1，2，…，m2）
wi≤wi（x）≤wi（i=1，2，…，m3）（3）
式（3）中：gi（x）、hi（x）、wi（x）为状态变量，m1、m2、m3为状态变量的数目.
2优化算法 2.1优化方法常用的优化方法有两种：零阶优化和一阶优化.零阶优化是通用的函数逼近优化方法，其本质是采用最小二乘法逼近，求取一个函数面来拟合解空间，然后再对该函数面求极值.这是一种普遍的优化方法，不易陷入局部极值点，但优化精度一般不高，故多用于粗优化阶段.一阶优化是针对零阶优化的缺陷而改进的方法，也叫做梯度寻优.如果说零阶优化是大范围普遍适合的粗优化方法，那么一阶优化就是局部细化的精优化方法［5，6］.
2.1.1零阶优化算法零阶优化算法是一种使用所有因变量（状态变量和目标函数）的逼近，而不用到其偏导数的优化算法，因变量首先通过最小二乘拟合被近似的替换，通过罚函数将有约束最小化问题转化为无约束问题.函数曲线（或曲面）的形式可采用线性拟合、平方拟合或平方加交叉项拟合，若采用平方拟合，则目标函数的拟合公式为：f^=a0+∑ni=1aixi+∑ni=1∑nj=1bijxixj（4）零阶方法中采用加权最小二乘技术来确定ai和bij，比如目标函数的加权最小二乘误差范数为：E2=∑ndj=1（j）（f（j）-f^（j））2（5）
式（5）中：（j）为设计变量j的加权系数，nd为设计变量的数目.对于设计变量和状态变量的约束条件，可采用罚函数将其转化为无约束方程，从而将带有约束的优化问题转化成无约束的最小值求解问题，如：
F（X，pk）=f^+f0pk∑ni=1X（xi）+∑m1i=1G（g^i）+∑m2i=1H（h^i）+∑m3i=1W（w^i）（6）
式（6）中：xi为设计变量，g^、h^i、w^为状态变量，X、G、H、W为对应的惩罚函数，f0为目标函数的参考值，pk为响应面参数.当设计变量（或状态变量）接近上限值时，其惩罚函数值将急剧增加，如图1，惩罚函数如式（7）.
第9期黄民水，等：框架结构基准有限元模型的理论及试验
武汉工程大学学报第31卷
图1扩展的内部惩罚函数
Fig.1Extended interior penalty functionX（xi）=c1+c2/（-xi），xi<-ε（-x-）
c3+c4/（xi-），xi≥-ε（-x-）
（i=1，2，3，…，n）（7）式（7）中：、x-为设计变量的上限、下限，c1、c2、c3、c4为系数，ε为极小正数.
2.1.2一阶优化算法通常一个无约束优化问题用（8）式来表示.
Q（x，q）=ff0+∑ni=1Px（xi）+q∑m1i=1Pg（gi）+
∑m2i=1Ph（hi）+∑m3i=1Pw（wi）（8）
式（8）中：Q为无约束目标函数（无量纲），Px为设计变量的惩罚函数，Pg、Ph、Pw为状态变量的惩罚函数，f0为从当前设计序列中选择的目标函数值.对于第j步优化迭代，引入优化搜索方向d(j)，对于最初迭代步，搜索方向是梯度最大的方向，在接下来的迭代步（j>0）中，搜索方向由PolakRibiere循环公式确定：
d（j）=-Q（x（j），qk）+rj-1d（j-1）
rj-1=［Q（x（J），Q）-Q（x（j-1），q）］TQ（x（j），q）|Q（x（j-1），q）|2 （9）当所有设计变量的约束条件均满足时，Px（xi）=0，Qp（x（j），q）=qPp（x（j）），当xi≤xi≤xi（i=1，2，…，n）.当检测到病态条件、接近收敛或者设计变量的约束条件过于严格时，该算法会通过设置rj-1=0来重新启动，迭代朝最大梯度方向进行.2.2优化准则假设Fj、Xj和Fj-1、Xj-1分别为目标函数、设计变量第j次迭代和第j-1次迭代的结果（Xj为矢量），Fb和Xb分别是当前的最优目标函数和其相应的设计变量值.如果满足|Fj-Fj-1|≤τ或者|Fj-Fb|≤τ，τ为目标函数的公差，那么认为迭代收敛，于是迭代停止.假设|Fj-Fj-1|≤τ或者|Fj-Fb|≤τ，那么也认为设计变量的搜索已经趋于收敛，于是迭代停止，也就意味着优化结束.3框架实例3.1框架简介图2钢框架的实验室模型
Fig.2Laboratory model of steel frame三层钢结构框架模型［7，8］见图2，框架模型由三块850 mm×500 mm×25 mm的钢板和四根等截面9.5 mm×75 mm 框架柱组成，柱和板之间为刚性连接，在每层楼板上放置135 kg 的附加质量块.框架模型焊接在一块20 mm 厚的钢板上，框架钢底板用8根高强螺栓固定在振动台上.框架柱钢材的弹性模量为200 GPa，屈服强度为435 MPa.框架楼板的厚度25 mm 远大于框架柱的厚度7.5 mm，认为楼板在框架发生水平位移时不产生转动，即框架只发生剪切型变形.用二维梁单元来模拟框架柱，用质量单元模拟质量块和楼板，一层框架柱底部设定为固结.采用子空间迭代法，提取了该刚框架的前三阶频率和振型，前3阶频率如表1所示.
表1钢框架测试频率和理论频率的比较
Table 1The comparison of analytical and experimental frequencies of steel frame
阶数实测频率/Hz理论频率/Hz误差/%1阶3.3693.5776.172阶9.70410.0403.463阶14.28214.5391.803.2振动测试在振动台上对该框架结构模型其进行了振动测试，获取了该框架模型的动力特性参数.振动台在x方向产生频率范围为1~30 Hz的白噪声，为保证框架的响应在线弹性范围内，激励的峰值加速度取为0.05 g，持续时间为180 s.在每层楼板处设置一个加速度计用来测量x方向的加速度，加速度计测得的信号通过B&K2635 进行信号调制并以采样频率300进行采样.随后用频域分解法对获得的数字信号进行分析，得到该钢结构框架的前3 阶测试固有频率分别为3.369、9704、14.282 Hz，有限元模型理论频率的对比如表1所示.可以看出，实测频率和理论频率相差较大，介于1.80%和6.17%之间.因此，现有的模型需要修正，以建立该框架结构的基准有限元模型.3.3模型修正文中的优化算法以前多用于数学、经济学等领域，本文将其成功地应用于工程结构的模型修正和损伤识别领域.本文中，基于不同的残差和权重系数建立了该框架结构的目标函数［9］.首先采用零阶算法进行寻优，确定了最优解的大致范围，然后一阶算法被用于精确寻优.修正参数及其修正前后的变化如表2所示.
表2修正前后的修正参数值
Table 2The updated parameter values before and after updating
编号修正参数初始值修正值频率残差振型残差柔度残差组合残差
（零阶法）组合残差
（一阶法）1一层柱高度/m0.30.2550.2570.2520.2540.2542二层柱高度/m0.30.2930.2930.2910.2920.2923三层柱高度/m0.30.2980.3050.3070.3010.2964一层楼板质量/kg221215.24215.13215.03215.04212.035二层楼板质量/kg221215.46215.29215.55215.73215.946三层楼板质量/kg221220.24220.17221.15221.7221.477钢材弹性模量/Pa2.0e+112.00e+112.02e+112.02e+112.01e+112.01e+11可以看出经过修正三层楼板的质量均有一定程度的下降，钢材的弹性模量也有所下降.基于单个残差的修正前后的前三阶频率如表3所示，可以看出经过修正，理论频率和试验频率的相对差值减小至1%以下.基于组合残差的修正前后的前三阶频率如表4所示，可以看出经过零阶算法，理论频率和试验频率的相对差值最大值为0.07%，然后采用一阶算法再次寻优，理论频率和试验频率的相对差值接近为零.从分析结果中可以看出，给予优化算法的修正效果非常理想，基准有限元模型已经建立. 表3基于单个残差的修正前后前三阶频率
Table 3The first three frequencies based on single residual before and after updating
振型测试频率/
Hz理论频率
(修正前）/Hz误差/%理论频率 (修正后）/Hz频率残差误差/%振型残差误差/%柔度残差误差/%13.3693.5776.173.3810.343.4010.953.3720.0829.70410.043.469.696-0.099.7960.949.7660.64314.28214.5391.8014.280-0.0114.4070.8814.3780.67表4基于组合残差的修正前后前三阶频率
Table 4The first three frequencies based on compositive residual before and after updating
振型测试频率/
Hz理论频率
(修正前）/Hz误差/%理论频率 (修正后）/Hz组合残差(零阶法)误差/%组合残差(一阶法)误差/%13.3693.5776.173.368-0.023.3690.0029.70410.043.469.702-0.029.7040.00314.28214.5391.8014.2920.0714.2820.004结语a. 利用一个三层钢框架振动测试所提取的模态参数，并对其动力有限元模型进行了修正，修正后有限元模型的动力特性更加接近于其实际结构行为.所建立的框架基准有限元模型可以具有多方面的用途，包括结构动力响应再分析、损伤识别以及作为健康监测和整体性评估的基准.b.该算法简单、有效，能够成功地应用于工程结构的模型修正.