《武汉工程大学学报》  2008年04期 120-122   出版日期：2008-04-30   ISSN:1674-2869   CN:42-1779/TQ

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WKB近似中基函数选择方式


0引言WKB方法是量子力学中重要的近似方法［1］，若势函数满足变化比较缓慢，且势垒足够厚和足够高的条件，就可以使用此方法方便地求解势垒贯穿问题.然而，在选择函数时，一般教科书上都只介绍了一种方式，实际上存在两种不同的方式.讨论比较这两种不同的方式，可以更透彻地理解该问题的物理思想，更好地利用此方法来解决实际问题.1WKB近似法及其使用条件对于薛定谔方程，当势函数为常数时，波函数的形式为：φ=expipxh（1）式（1）中p=2m（E-U），m为粒子的质量，当U为位置的函数时，不妨设波函数为Φ=expish（2）式（2）中s是坐标x的函数，一般说来如果U与常数很接近，则可认为s≈px，但要得到更精确的结果，就必须解薛定谔方程.因此，对于一般的势函数，将s展开成h的幂级数s=s0（x）+hs1（x）+12h2s2（x）+Λ（3）
为解得s，将式（2）代入薛定谔方程经化简得到12msx2+（U-E）-ih2m2sx2=0（4）
把（3）式代入（4）式，并舍去h二次幂以上的项得12ms0x2+（U-E）+hms0xs1x-i22s0x2+h22ms0xs2x+s1x2-i2s1x2=0（5）
因为此方程成立必须与h的取值无关，故h各次幂的系数必须分别为零.由此得到下列方程12ms0x2+（U-E）=0（6）s0xs1x-i22s0x2=0（7）s0xs2x+s1x2-i2s1x2=0（8）这些方程能逐个解出，由U-E用式（6）可得s0;由s0用式（7）可得s1; 由s0、s1用式（8）可得s2.如由式（6）得s0x=±2m（E-U）s0=±∫xx02m（E-U）dx（9）假设E>U，仿上讨论可以解得exp(is1)=142m（E-U）
s2=12mUx［2m（E-U）］3/2-14∫xx0m2Ux2［2m（E-U）］5/2dx
由s2的表达式可见，只要U/x较小，且EU不趋于零，s2便较小.也能证明［2］，若U的所有阶导数都很小，则更高的项（s3,s4等）都将趋于零.在此条件下的近似解能较精确地反映实际情况.因此mh（U/x）［2m（E-U）］3/21（10）
成立与否是WKB近似法能否适用的判据.取s=s0,并代入（2）式中，则薛定谔方程的解是Φ=A4E-Uexpih∫xx02m（E-U）dx+
B4E-Uexp-ih∫xx02m（E-U）dx（11）
式中A、B为任意常数，正、负指数分别对应沿x轴正、负方向传播的波，在U为常数的特殊情况下，它们均化为平面波.2选择基函数的两种方式求解势垒贯穿问题是WKB近似法的重要应用.对于如图1所示的势垒，利用该方法求解时，先选择某一区域的波函数［3］（即基函数），然后利用连接公式，依次求出其它区域的波函数.选择基函数有两种方式，即从左到右或从右到左.图1势垒函数图
Fig.1Figure of potential barrier function对于从左到右，先选择x<a区域的基函数形式为φ1=2Vsin1h∫axpdx+π4（12）
利用欧拉公式得φ1=1iVexpih∫axpdx+iπ4-
exp-ih∫axpdx-iπ4（13）
其中V为入射粒子的速度，p=2m（E-U），m为粒子的质量.利用连接公式［4］可以求得区域a<x<b中的波函数为φⅡ=1Vexp-1h∫xa|p|dx
=1Vexp-1h∫bapdxexp1h∫xbpdx（14）
第4期李文胜，等：WKB近似中基函数选择方式
武汉工程大学学报第30卷
再利用连接公式，可以求出x>b区域内的波函数φⅢ=-1Vexp-1h∫bapdx×
expih∫xbpdx+iπ4(15)设由式（12）所示的基函数对应的入射粒子流密度为1，则式（15）所表示的透射波对应的透射粒子流密度为|φⅢ|2=exp-2h∫bapdx（16）因此势垒贯穿的几率为T=exp-2h∫ba2m(E-U)dx（17）对于从右到左，先选择x>b区域中的基函数，在此区域由于只有沿x轴正向传播的波（即透射波），故其形式为φⅢ=Apexpih∫xbpdx-π4（18）依连接公式，在a<x<b区域中的波函数为
φⅡ=Aq12exp-∫bxqhdx-iexp∫bxqhdx（19）式中q=ip,再由连接公式，在x<a的区域中的波函数为
φⅠ=-Ap12exp-∫baqhdxsin∫abphdx-π4+
2iexp∫abqhdxcos∫axphdx-π4（20）
利用欧拉公式整理得到
φⅠ=-iApexp-i∫xaphdx+π4×
exp∫baqhdx-14exp-∫baqhdx-
iApexpi∫xaphdx+π4×
exp∫baqhdx+14exp-∫baqhdx（21）
由式（21）可见前半部为反射波，后半部为入射波，入射系数为M=-iApexp∫baqhdx
+14exp-∫baqhdx（22）
考虑到
exp∫baqhdxexp∫ba-qhdx
根据势垒贯穿几率的定义，由式（22）和（19）可以得到势垒贯穿的几率为
T=exp-2h∫ba2m(E-U)dx（23）
式（23）和式（17）完全一样.3两种方式的比较按照从左到右的方法，处理的过程完全循照波实际传播的过程，这便于人们理解.但是将其波函数φⅠ取成正弦或余弦的形式，利用欧拉公式展开后，正如式（13）所表示的那样，就会出现入射波和反射波强度相同的情况.这样容易给人造成误解：既然两者的强度相等，即在x<a的区域中，入射粒子全被势垒反射，而在x>b的区域将不存在透射波，即势垒贯穿几率应为零，而不是式（17）所表示的结果.造成这种误解的原因是因为一开始就忽略了14exp-1h∫baqdx这一项［5］.显然这样处理图像模糊，不便理解.如果把φI取成入射波和反射波之和，且两者系数不同，显然可以避免上述问题，但计算将变得复杂，所以该方式也有些局限性.然而，按照从右到左的方法，虽说求解过程逆着波的传播过程，计算量有所增加，但此方式中波函数φⅢ只有透射波（沿x轴正方向传播的波），物理图像十分清晰，便于理解.所以此方式明显优于第一种方式.4结语求解金属电子的冷发射，放射性蜕变等都是势垒贯穿的重要应用［6］.在实际应用过程中，应依照势垒的具体形式选择基函数.既使得图像清晰，又使得计算相对简单，是我们选择基函数的标准.