《武汉工程大学学报》 2008年03期
124-126
出版日期：2008-03-31
ISSN:1674-2869
CN:42-1779/TQ
“NCD”系统中保险双方的最优博弈
0引言在欧美机动车辆保险市场，“NCD”系统（即No Claims Discount Systems称为“无索赔折扣系统”）被广泛应用与深入研究已有很长一段时间.最为突出的“NCD”系统研究专家是Lemaire,Borch,Verrall,Goovaerts等人.其中Lemaire［1］详细描述并比较分析了欧洲与日本等国的“NCD”系统.Verrall［2］对“NCD”系统做了分类，并研究了“NCD”系统中折扣水平、折扣兑付的时间要求，甚至还讨论了近似临界值的确定方法.而Goovaerts［3］深入研究了最优临界值的限，并利用后向诱导法得到了这一临界值.De Pril［4］考虑被保险人损失遵循Poisson过程时得到了临界值的演化过程，在构造合适的边界条件下，他用一个微分方程描述了该系统.对机动车辆保险双方来说，被保险人保持无索赔记录的时间越长，对保险人而言，表明该客户的风险水平越低，但并不表示被保险人在保险期内无保险事故发生，可能无保险事故发生，也可能发生的损失额在被保人看来，自身可以承受，或者是其损失额低于索赔费用及赔额而自愿放弃索赔.对保险人而言，对这样的客户提供一定的保费折扣作为奖励，将不只是笼络并锁定客户的一种营销策略，更深层的意义是对客户风险的一种公平、公正的评价.但仔细看来，其中却包含如下一些问题：对保险人来说，他必须厘定一个合适的保费价格并提供一定的折扣以使被保险人接受，同时最大化其未来期望收益；对被保险人而言，面对保险人提供的保费与折扣，他必须确定其损失额为多少时才提出索赔，以使其保险成本达到最小（此时被保险人的损失额称为最优临界损失值）.针对这些问题，本文利用Markov决策过程就投保双方的行为进行博弈分析，并确定这样三个量：保险人提供的最优保费价格与折扣值，被保险人的最优临界损失值.1假设与定义假设保险期限为n年，被保险人因保险事故所发生的年损失额为独立同分布的随机变量，记作X，它所服从的分布函数记为F，年损失额的期望值记为μ.假设保险人规定，被保险人须在k年内保持无索赔记录方可享受“NCD”折扣，该折扣值记为d，年保费记为π.其他相关定义如下.a. 年折扣因子δ,δ=11+r为年返还率；b. 被保险人在无索赔的i年中未来开支的期望现值Ai,i=0,…,k；c. 保险人在无索赔发生的i年中其资金流的期望现值Bi,i=0,…,k；d. 被保险人在i年中无索赔要求时的年损失临界值xi,i=0,…,k.注意：xi表示被保险人在第i年的年累积损失额未达到xi时不提出索赔，若一旦超出xi则要求索赔，故xi为一临界值.假设x0,x1,…,xk,…,xn为独立同分布随机变量序列，并具有无记忆性，构成Markov链.2保险双方的博弈2.1被保险人的最优临界损失值由上述定义知，临界损失水平是被保险人的年损失额介于其将要要求索赔与放弃索赔之间的一个值.为确定该值，下面建立被保险人在其年损失达到某值并要提出索赔时的未来开支的期望现值与将要放弃索赔时的未来开支的期望现值之间的一个等式，通过求解该等式，即可确定临界损失水平.记EPV（x）i,1为被保险人在第i年中当年损失额为x并放弃索赔时的未来开支的期望现值；记EPV（x）i,2为被保险人在第i年中当年损失额为x并提出索赔时的未来开支的期望现值.a.若i=k，则EPV（x）i,1=x+Ak
EPV（x）i,2=A0xk=A0-Akb.若0≤i<k，则EPV（x）i,1=x+Ai+1
EPV（x）i,2=A0xi=A0-Ai+1xk-1=A0-Ak所以xk=xk-1.令G（x）=∫x0ydF（y）被保险人的临界损失为x时的期望值，则
Ak=π-d+δA0-δ（A0-Ak）F（xk）+δG（xk）a.当0≤i<k时
Ai=π+δA0-δ（A0-Ai+1）F（x）+δG（xi）令H（x）=xF（x）-G（x），则
xk-1=A0-Ak=（1-δ）A0-π+d+δH（xk-1）b.当0≤i<k-1时
xi=A0-Ai+1=（1-δ）A0-π+δH（xi+1）且A0=π+δA0-δH（x0），故
xk-1=d+δ［H（xk-1）-H（x0）］xi=δ［H（xi+1）-H（x0）］
A0=π-δH（x0）1-δ2.2保险人的现金流的期望现值首先，在被保险人于前i（i<k-1）年不要求索赔时保险人的现金流的期望现值Bi的递推关系为
Bi=π-δ∫∞xixf（x）dx+δF（xi）Bi+1+δF（xi）B0其中F（xi）=1-F（xi）其次，在被保险人于前k-1年不要求索赔时保险人的现金流的期望现值Bk-1的递推关系为
Bk-1=π-δ∫∞xkxf（x）dx+δF（xk）Bk+δF（xk）B0最后，在被保险人于k年内不要求索赔时保险人的现金流的期望现值为
Bk=π-d-δ∫∞xkxf（x）dx+δF（xk）Bk+
δF（xk）B0第3期刘任河，等：“NCD”系统中保险双方的最优博弈
武汉工程大学学报第30卷
2.3保费与“NCD”折扣间的博弈均衡定义V0为π,d,x0,…,xk的函数，即V0（π,d,x0,…,xk），则在保险人给定的“NCD”折扣d条件下，被保险人选择索赔临界值x0,…,xk即可最小化其保险成本.由于在任何时刻，保险双方都必须承担未来所有的支出，故
Bi-Ai=-（δμ+δ2μ+…）=-δμ1-δ,i=0,1,…,k从而被保险人的保险成本为
A0=B0+δμ1-δ由于上述索赔临界值也将最小化保险人的现金流的期望现值，故
（x0,…,xk|（d））=ArgminV0x0,…,xk|（d）而保险人要在被保险人选择索赔临界值x0,…,xk的条件下最大化其现金流的期望现值，则必须选择合适的保费π与“NCD”折扣d，即
（π,d）=Argmaxπ,dV0（π,d）=ArgminV0π,d
s.t.（x0,…,xk）∈（x0,…,xk|（d））=ArgminV0x0,…,xk|（d）.2.4特例讨论：k=2k=2即被保险人至少需要保持两年无索赔记录方可得到“NCD”折扣d.显然，由上述定义知V0（π,d,x0,x1,x2），由2．1中的分析知
x1=x0+d,x0=δ［H（x0+d）-H（x0）］从而
V0=B0=A0-δμ1-δ=π1-δ-δ1-δ（μ+H（x0））令Ei=∫∞xixf（x）dxF（xI）,i=0,1,2为超出临界值xi的期望索赔值，由于保险人在i=0时的现金流的期望现值等于现金流乘以各自概率的和，故
V0=π+F0δπ+（1-F0）δ（-E0）+（1-F0）δV0+F0F1δ2（π-d）1-F1δ+F0（1-F1）δ2（V0-E1）1-F1δ解得V0为
V0=π-πF1δ+πF0δ-δE0+δ2E0F11-δF1-δ+δ2F1+δF0-δ2F0+
δE0F0-δ2（E0F0F1-F0F1d-F0E1+E1F0F1）1-δF1-δ+δ2F1+δF0-δ2F0
3数值例证假设被保险人无损失的概率为A，而其损失发生的概率服从［0，1］上的均匀分布，则
F1=A+xi（1-A）,Ei=1+xi2,i=0,1,2
若取δ=0.9,A=0.55，分d<0.5597与d≥0.5597，可得到被保险人的索赔临界值x0=-4.5d22+9d81d-200,d<0.5597
-11981+2811900+7290d,d≥0.5597x1=x2=-4.5d222+90d81d-200,0≤d<0.5597
1,d≥0.5597而相应的保险人选择的保费价格为
π=
5.0625×10-26561d4+66240d2+64000d+1.6×105（81d-200）2,
d<0.5597
0.0225-1.0425×1010+3.2648×1081900+7290d1+5×1071900+7290d+
-4×1010d+2×109d1900+7290d1+5×1071900+7290d,d≥0.5597
4结语本文从“NCD”系统中保险双方围绕着各自未来开支的最优化博弈互动方面进行分析，得到了双方的最优决策结果，即保险人根据被保人对自身损失值的反应选择一个合适的最优临界损失值而给出一个最佳的保费价格及“NCD”折扣，使双方的保险成本达到最优.