《武汉工程大学学报》 2008年01期
111-112
出版日期：2008-01-30
ISSN:1674-2869
CN:42-1779/TQ
非齐次边界条件定解问题的一种齐次化函数形式
0引言对于如何求解非齐次边界条件定解问题的边界条件齐次化函数，在文献中都只是具体求解［1～5］，或列举几种类型以表格形式给出［6］.本文通过对以往文献资料的总结，给出的形式较之以往更具一般性和标准性.1论题的引出对于非齐次边界条件的定解问题2ut2=2ux2+f(x,t)
u(x,t)|x=0=u1(t),u(x,t)|x=l=u2(t)
u(x,t)|t=0 =φ(x), ut|t=0=Ф(x)这里，令：U（x,t）=V(x,t)+W(x,t)其中，W(x,t)满足：W(x,t)|x=0=u1(t), W(x,t)|x=l=u2(t)这里，W(x,t)叫做边界条件的齐次化函数.定理若已知，muxm|x=0=u1(t),nuxn|x=l=u2(t)，m≥0,n≥0，则边界条件的齐次化函数具有的其中一种形式为：W(x,t)=A(t)xm+B(t)xn+1m≠n+1A(t)xm+ B(t)xm-1m=n+1其中，A(t)，B(t)分别是关于t的函数.2论题的证明证明：当m=n+1时， 令W(x,t)=u1(t)m!xm+u2(t)-lu1(t)(m-1)!xm-1因为mWxm|x=0=m!u1(t)m!=u1(t)
nWxn|x=l=
m！u1(t)m!x+(m-1)!u2(t)-lu1(t)(m-1)!=u2(t) 所以W(x,t)=u1(t)m!xm+u2(t)-lu1(t)(m-1)!xm-1是该非齐次边界条件定解问题的一个齐次化函数.又因为u1(t)m!=A(t)，u2(t)-lu1(t)(m-1)!= B(t)分别是关于t的函数，所以当m=n+1时，W(x,t)= A(t)x +B(t)x是该非齐次边界条件定解问题的一种齐次化函数形式.当m>n+1时，令W(x,t)=u1(t)m!xm+u2(t)l(n+1)!-l(m-n)u1(t)l(n+1)!(m-n)!xn+1因为mWxm|x=0=m！A(t) =u1(t)
nWxn|x=l=
m!(m-n)! A(t)x(m-n)+(n+1)！B(t)x=u2(t)所以W(x,t)=u1(t)m!xm+u2(t)l(n+1)!-l(m-n)u1(t)l(n+1)!(m-n)!xn+1是该非齐次边界条件定解问题的一个齐次化函数.又因为u1(t)m!=A(t)，u2(t)l(n+1)!-l(m-n)u1(t)l(n+1)!(m-n)!=B(t)分别是关于t的函数,所以当m>n+1时W(x,t)= A(t)xm+B(t)xn+1是该非齐次边界条件定解问题的一种齐次化函数形式.当m=n时，令W(x,t)=u1(t)m!xm+u2(t)-u1(t)(m+1)!lxm+1因为mWxm|x=0=m！A(t)=u1(t)
nWxn|x=l= m！A(t)+(m+1)！B(t)x=u2(t)所以W(x,t)= W(x,t)=u1(t)m!xm+u2(t)-u1(t)(m+1)!lxm+1是该非齐次边界条件定解问题的一个齐次化函数.第1期陈杰，等：非齐次边界条件定解问题的一种齐次化函数形式
武汉工程大学学报第30卷
又因为u1(t)m!=A(t)，u2(t)-u1(t)(m+1)!l=B(t)分别是关于t的函数,所以当m=n时，W(x,t)=A(t)xm+B(t)xm+1是该非齐次边界条件定解问题的一种齐次化函数形式.当m<n时，令W(x,t)=u1(t)m!xm+B(t)xn+1因为
mWxm|x=0=
m！A(t)+(n+1)!(n-m+1)!B(t)xn-m+1=u1(t)
nWxn|x=l= (n+1)！ B(t)x=u2(t)所以W(x,t)=u1(t)m!xm+u2(t)l(n+1)!xn+1是该非齐次边界条件定解问题的一个齐次化函数.又因为u1(t)m!=A(t) ，u2(t)l(n+1)!=B(t)分别是关于t的函数,所以当m<n时，W(x,t)=A(t)xm+B(t)xn+1是该非齐次边界条件定解问题的一种齐次化函数形式.综上所述，当m≥0, n≥0时，W(x,t)=A(t)xm+ B(t)xn+1m≠n+1W(x,t)=A(t)xm+B(t)xm-1m=n+1是该非齐次边界条件定解问题的其中一种齐次化函数形式.